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X w

dom

f

, X 

RLD

1

w

f

, X 

FCD

1

w

f

, 8

a

2

F

(

Src

f

)

; b

2

F

(

Dst

f

): (

a

FCD

b

v

f

)

a

FCD

b

v X 

FCD

1)

, 8

a

2

F

(

Src

f

)

; b

2

F

(

Dst

f

): (

a

FCD

b

v

f

)

a

v X

)

.

Thus dom

(

RLD

)

in

f

=

dom

f

. The rest follows from symmetry.

Proposition 47.

dom

(

RLD

)

¡

f

=

dom

f

and im

(

RLD

)

¡

f

=

im

f

for every funcoid

f

.

Proof.

dom

(

RLD

)

¡

f

w

dom

f

and im

(

RLD

)

¡

f

w

im

f

because

(

RLD

)

¡

f

w

(

RLD

)

in

and

dom

(

RLD

)

in

f

=

dom

f

and im

(

RLD

)

in

f

=

im

f

.

It remains to prove (as the rest follows from symmetry) that dom

(

RLD

)

¡

f

v

dom

f

.

Really, dom

(

RLD

)

¡

f

v

d

F

f

X

2

up dom

f

j

X

1

2

up

f

g

=

d

F

f

X

2

up dom

f

j

X

2

up dom

f

g

=

d

F

up dom

f

=

dom

f

.

Conjecture 48.

For every funcoid

g

we have Cor

(

RLD

)

¡

g

= (

RLD

)

¡

Cor

g

.

7 More on properties of funcoids

Proposition 49.

¡(

A

;

B

)

is the center of lattice

FCD

(

A

;

B

)

.

Proof.

See theorem 4.139 in [

1

].

Proposition 50.

up

¡(

A

;

B

)

(

FCD

B

)

is dened by the lter base

f

A

B

j

A

2

up

A

; B

2

up

Bg

on the lattice

¡(

A

;

B

)

.

Proof.

It follows from the fact that

FCD

B

=

d

FCD

f

A

B

j

A

2

up

A

; B

2

up

Bg

.

Proposition 51.

up

¡(

A

;

B

)

(

FCD

B

) =

F

(¡(

A

;

B

))

\

(

RLD

B

)

.

Proof.

It follows from the fact that

FCD

B

=

d

FCD

f

A

B

j

A

2

up

A

; B

2

up

Bg

.

Proposition 52.

For every

f

2

F

(¡(

A

;

B

))

:

1.

f

f

is dened by the lter base

f

F

F

j

F

2

up

f

g

(if

A

=

B

);

2.

f

¡

1

f

is dened by the lter base

f

F

¡

1

F

j

F

2

up

f

g

;

3.

f

f

¡

1

is dened by the lter base

f

F

F

¡

1

j

F

2

up

f

g

.

Proof.

I will prove only (1) and (2) because (3) is analogous to (2).

1. It's enough to show that

8

F ; G

2

up

f

9

H

2

up

f

:

H

H

v

G

F

. To prove it take

H

=

F

u

G

.

2. It's enough to show that

8

F ; G

2

up

f

9

H

2

up

f

:

H

¡

1

H

v

G

¡

1

F

. To prove it take

H

=

F

u

G

. Then

H

¡

1

H

= (

F

u

G

)

¡

1

(

F

u

G

)

v

G

¡

1

F

.

Theorem 53.

For every sets

A

,

B

,

C

if

g; h

2

F

¡(

A

;

B

)

then

1.

f

(

g

t

h

) =

f

g

t

f

h

;

2.

(

g

t

h

)

f

=

g

f

t

h

f

.

Proof.

It follows from the order isomorphism above, which preserves composition.

Bibliography

[1]

Victor Porton.

Algebraic General Topology. Volume 1

. 2014.

Bibliography

9