background image

So by properties of generalized lter bases, there exists

A

2

up

a

such that

Y

2

up

h

f

i

A

.

Lemma 31.

(

FCD

)

f

=

d

FCD

(¡(

A

;

B

)

\

GR

f

)

for every reloid

f

2

RLD

(

A

;

B

)

.

Proof.

Let

a

be an ultralter. We need to prove

h

(

FCD

)

f

i

a

=

*

l

FCD

(¡(

A

;

B

)

\

GR

f

)

+

a

that is

*

l

FCD

up

f

+

a

=

*

l

FCD

(¡(

A

;

B

)

\

GR

f

)

+

a

that is

l

F

2

up

f

F

h

F

i

a

=

l

F

2

¡(

A

;

B

)

\

up

f

F

h

F

i

a:

For this it's enough to prove that

Y

2

up

h

F

i

a

for some

F

2

up

f

implies

Y

2

up

h

F

0

i

a

for some

F

0

2

¡(

A

;

B

)

\

GR

f

.

Let

Y

2

up

h

F

i

a

. Then (proposition above) there exists

A

2

up

a

such that

Y

2

up

h

F

i

A

.

Y

2

up

h

A

FCD

Y

t

A

FCD

1

i

a

;

h

A

FCD

Y

t

A

FCD

1

iX

=

Y

2

up

h

F

iX

if

0 =

/

X v

A

and

h

A

FCD

Y

t

A

FCD

1

iX

= 1

2

up

h

F

iX

if

X v

A

.

Thus

A

FCD

Y

t

A

FCD

1

w

F

. So

A

FCD

Y

t

A

FCD

1

is the sought for

F

0

.

4.2 Relationships between

(

FCD

)

and

(

RLD

)

¡

Denition 32.

(

RLD

)

¡

f

=

d

RLD

up

¡(

Src

f

;

Dst

f

)

f

for every funcoid

f

. I call

(

RLD

)

¡

as

¡

-reloid

or Gamma-reloid.

Lemma 33.

(

FCD

)(

RLD

)

¡

f

=

f

for every funcoid

f

.

Proof.

For every lter

X 2

F

(

Src

f

)

we have

h

(

FCD

)(

RLD

)

¡

f

iX

=

d

F

2

up

(

RLD

)

¡

f

F

h

F

iX

=

d

F

2

up

¡(

Src

f

;

Dst

f

)

f

F

h

F

iX

.

Obviously

d

F

2

up

¡(

Src

f

;

Dst

f

)

f

F

h

F

iX w h

f

iX

. So

(

FCD

)(

RLD

)

¡

f

w

f

.

Let

Y

2

up

h

f

iX

. Then (propositiona above) there exists

A

2

up

X

such that

Y

2

up

h

f

i

A

.

Thus

A

Y

[

A

1

2

up

f

. So

h

(

FCD

)(

RLD

)

¡

f

iX

=

d

F

2

up

¡(

Src

f

;

Dst

f

)

f

F

h

F

iX v h

A

Y

[

A

1

iX

=

Y

. So

Y

2

up

h

(

FCD

)(

RLD

)

¡

f

iX

that is

h

f

iX w h

(

FCD

)(

RLD

)

¡

f

iX

that is

f

w

(

FCD

)(

RLD

)

¡

f

.

Proposition 34.

(

RLD

)

¡

is neither upper nor lower adjoint of

(

FCD

)

(in general).

Proof.

It is not upper adjoint because

(

RLD

)

in

is the upper adjoint of

(

FCD

)

and

(

RLD

)

in

=

/ (

RLD

)

¡

.

If

(

RLD

)

¡

is the lower adjoint of

(

FCD

)

, then

f

w

(

RLD

)

¡

(

FCD

)

f

and thus

f

w

(

RLD

)

in

(

FCD

)

f

.

But

f

v

(

RLD

)

in

(

FCD

)

f

, thus having

(

RLD

)

in

(

FCD

)

f

=

f

what is not an identity (take

f

= (=)

j

A

for an innite set

A

).

5 The diagram

Theorem 35.

The following is a commutative diagram (in category

Set

), every arrow in this

diagram is an isomorphism. Every cycle in this diagram is an identity (therefore parallel arrows
are mutually inverse). The arrows preserve order, composition, and reversal (

f

7!

f

¡

1

).

6

Section 5