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Funcoids are Filters

by Victor Porton

Web:

http://www.mathematics21.org

April 12, 2015

1 Draft status

This is a rough draft.

In this article notations are used accordingly:

http://www.mathematics21.org/binaries/rewrite-plan.pdf

Particularly

h

f

i

X

=

def

f

y

j

x

2

X

^

x f y

g

for a binary relation

f

and a set

X

.

The motto of this article is: Funcoids are lters on a lattice.

2 Rearrangement of collections of sets

Let

Q

is a set of sets.

Let

be the relation on

S

Q

dened by the formula

a

b

, 8

X

2

Q

: (

a

2

X

,

b

2

X

)

:

[TODO: Generalize it by the formula

a

b

, 8

X

2

Q

: (

a

2

atoms

X

,

b

2

atoms

X

)

:

]

[TODO: Reloids

RLD

(

A

;

B

)

between posets

A

and

B

is

F

(

atoms

A

atoms

B

)

?]

Proposition 1.

is an equivalence relation on

S

Q

.

Proof.

Reexivity.

Obvious.

Symmetry.

Obvious.

Transitivity.

Let

a

b

^

b

c

. Then

a

2

X

,

b

2

X

,

c

2

X

for every

X

2

Q

. Thus

a

c

.

Denition 2.

Rearrangement

R

(

Q

)

of

Q

is the set of equivalence classes of

S

Q

for

.

Obvious 3.

S

R

(

Q

) =

S

Q

.

Obvious 4.

; 2

/

R

(

Q

)

.

Lemma 5.

card

R

(

Q

)

2

card

Q

.

Proof.

Having an equivalence class

C

, we can nd the set

f

2

P

Q

of all

X

2

Q

such that

a

2

X

for all

a

2

C

.

b

a

, 8

X

2

Q

: (

a

2

X

,

b

2

X

)

, 8

X

2

Q

: (

X

2

f

,

b

2

X

)

. So

C

=

f

b

2

S

Q

j

b

a

g

can be restored knowing

f

. Consequently there are no more than card

P

Q

= 2

card

Q

classes.

Corollary 6.

If

Q

is nite, then

R

(

Q

)

is nite.

Proposition 7.

If

X

2

Q

,

Y

2

R

(

Q

)

then

X

\

Y

=

/

; ,

Y

X

.

Proof.

Let

X

\

Y

=

/

;

and

x

2

X

\

Y

. Then

y

2

Y

,

x

y

, 8

X

0

2

Q

: (

x

2

X

0

,

y

2

X

0

)

)

(

x

2

X

,

y

2

X

)

,

y

2

X

for every

y

. Thus

Y

X

.

Y

X

)

X

\

Y

=

/

;

because

Y

=

/

;

.

Proposition 8.

If

;

=

/

X

2

Q

then there exists

Y

2

R

(

Q

)

such that

Y

X

^

X

\

Y

=

/

;

.

Proof.

Let

a

2

X

. Then

[

a

] =

f

b

2

S

Q

j 8

X

0

2

Q

: (

a

2

X

0

,

b

2

X

0

)

g

=

f

b

2

S

Q

j 8

X

0

2

Q

:

b

2

X

0

g  f

b

2

S

Q

j

b

2

X

g

=

X

. But

[

a

]

2

R

(

Q

)

.

X

\

Y

=

/

;

follows from

Y

X

by the previous proposition.

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