background image

3.2 Co-frame induced by a pointfree funcoid

The co-frame

f

for some pointfree endo-funcoids

f

will be defined to be the reverse of

. See

below for exact meaning of being reverse.

Let restore the co-frame

L

from the pointfree funcoid

L

.

Let poset

f

for every pointfree funcoid

f

is defined by the formula:

f

=

{

X

Z

(

Ob

f

)

| h

f

i

X

=

X

}

.

Remark 2.

It seems that

is

not

a monovalued function from pf

FCD

to Ob

(

Frm

)

.

3.3 Isomorphism of co-frames through pointfree funcoids

Remark 3.

P

(

B

(

L

)) =

Z

(

F

(

B

(

L

)))

(theorem 4.137 in [2]).

Theorem 4.

L

⇓⇑

L

(where

L

ranges all small frames) is an order isomorphism.

Proof.

Let

A

∈ ⇓⇑

L

. Then there exists

A

∈ B

(

L

)

such that

A

=

B

(

L

)

A

.

h

f

i

A

=

B

(

L

)

cl

A

.

h

f

i

A

=

A

that is

B

(

L

)

cl

A

=

A

=

B

(

L

)

A

. So cl

A

=

A

and thus

A

L

.

Let now

A

L

. Then take

A

=

B

(

L

)

A

. We have

h

f

i

A

=

cl

A

=

B

(

L

)

A

=

A

. So

A

∈ ⇓⇑

L

.

We have proved that it is a bijection.
Because

A

and

A

are related by the equation

A

=

B

(

L

)

A

it is obvious that this is an order

embedding.

4 Postface

Pointfree funcoids are a

massive

generalization of locales and frames: They don’t only require the

lattice of filters to be boolean but these can be even not lattices of filters at all but just arbitrary
posets. I think a new era in pointfree topology starts.

Much work is yet needed to relate different properties of frames and locales with corresponding

properties of pointfree funcoids.

Bibliography

[1]

Peter T. Johnstone.

Stone Spaces

. Cambridge University Press, 1982.

[2]

Victor Porton.

Algebraic General Topology. Volume 1

. 2013.

2

Section