background image

A generalization of theorem 43 in [1]:

Theorem 5.

Let

(

A

;

Z

)

be a starrish join-semilattice filtrator with finitely join-closed core which

is a join-semilattice. Then

∂a

is a free star for each

a

A

.

Proof.

For every

A, B

Z

X

Z

Y

∂a

X

A

Y

∂a

X

A

Y

A

a

X

A

a

Y

A

a

X

∂a

Y

∂a.

A generalization of theorem 65 in [1]:

Theorem 6.

Let

(

A

;

Z

)

be a semifiltered down-aligned filtrator with finitely meet-closed core

Z

which is an atomistic lattice and

A

is a starrish join-semilattice, then Cor

(

a

A

b

) =

Cor

a

Z

Cor

b

for every

a, b

A

.

Proof.

Cor

(

a

A

b

) =

S

Z

{

x

|

x

is an atom of

Z

, x

a

A

b

}

(use proposition 34 from [1]),

By the theorem 50 from [1] we have Cor

(

a

A

b

) =

S

Z

(

atoms

A

(

a

A

b

)

Z

) =

S

Z

((

atoms

A

a

atoms

b

)

Z

) =

S

Z

((

atoms

A

a

Z

)

(

atoms

A

b

Z

)) =

S

Z

(

atoms

A

a

Z

)

Z

S

Z

(

atoms

A

b

Z

)

(used the theorem 3). Again using the theorem 50 from [1], we get

Cor

(

a

A

b

) =

S

Z

{

x

|

x

is an atom of

Z

, x

a

} ∪

Z

S

Z

{

x

|

x

is an atom of

Z

, x

b

}

=

Cor

a

Z

Cor

b

(again used the proposition 34 from [1]).

Bibliography

[1]

Victor Porton. Filters on posets and generalizations.

International Journal of Pure and Applied Mathe-

matics

, 74(1):55–119, 2012.

2