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A note on starrish posets

by Victor Porton

78640, Shay Agnon 32-29, Ashkelon, Israel

Email:

porton@narod.ru

Web:

http://www.mathematics21.org

Abstract

In this note some theorems from my previous article are strengthened. Starrish posets, a
generalization of distributive lattices, are considered.

Keywords:

distributive lattice

A.M.S. subject classification:

06A0606D99

In this short note I strengthen some results about distributive lattices in [1] as distributive lattices
are a special case of

starrish

posets introduced in this note.

Definition 1.

I will call a poset

starrish

when the full star

⋆a

is a free star for every element

a

of this poset.

Proposition 2.

Every distributive lattice is starrish.

Proof.

Let

A

is a distributive lattice,

a

A

. Obviously

0

⋆a

; obviously

⋆a

is an upper set. If

x

y

⋆a

, then

(

x

y

)

a

is non-least that is

(

x

a

)

(

y

a

)

is non-least what is equivalent to

x

a

or

y

a

being non-least that is

x

⋆a

y

⋆a

.

A generalization of theorem 1 in [1]:

Theorem 3.

If

A

is a starrish join-semilattice then

atoms

(

a

b

) =

atoms

a

atoms

b

Proof.

For every atom

c

we have:

c

atoms

(

a

b

)

c

a

b

a

b

⋆c

a

⋆c

b

⋆c

c

a

c

b

c

atoms

a

c

atoms

b

.

A generalization of proposition 30 in [1]:

Proposition 4.

Let

(

A

;

Z

)

be a down-aligned filtrator with finitely join-closed core, where

A

is a

starrish join-semilattice and

Z

is a join-semilattice. Then atomic elements of this filtrator are prime.

Proof.

Let

a

be an atom of the lattice

A

. We have for every

X , Y

Z

X

Z

Y

up

a

X

A

Y

up

a

X

A

Y

a

X

A

Y

A

a

X

A

a

Y

A

a

X

a

Y

a

X

up

a

Y

up

a.

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