 Proposition 5

For a distributive lattice

(

a

\

b

)

\

c

=

a

\

(

b

c

)

if

a

\

b

and

(

a

\

b

)

\

c

are defined.

Proof

((

a

\

b

)

\

c

)

c

= 0; ((

a

\

b

)

\

c

)

c

= (

a

\

b

)

c

; (

a

\

b

)

b

= 0;

(

a

\

b

)

b

=

a

b

.

We need to prove ((

a

\

b

)

\

c

)

(

b

c

) = 0 and ((

a

\

b

)

\

c

)

(

b

c

) =

a

(

b

c

).

In fact,

((

a

\

b

)

\

c

)

(

b

c

) =

(((

a

\

b

)

\

c

)

b

)

(((

a

\

b

)

\

c

)

c

) =

(((

a

\

b

)

\

c

)

b

)

0 =

((

a

\

b

)

\

c

)

b

(

a

\

b

)

b

=

0

,

so ((

a

\

b

)

\

c

)

(

b

c

) = 0;

((

a

\

b

)

\

c

)

(

b

c

)

=

(((

a

\

b

)

\

c

)

c

)

b

=

(

a

\

b

)

c

b

=

((

a

\

b

)

b

)

c

=

a

b

c.

2.4. Center of a lattice

Definition 13

The

center

Z

(

A

)

of a bounded distributive lattice

A

is the set

of its complemented elements.

Remark 2

For definition of center of non-distributive lattices see .

Remark 3

In  the word center and the notation

Z

(

A

) is used in a different

sense.

Definition 14

A complete lattice

A

is

join infinite distributive

when

x

S

S

=

S

h

x

∩i

S

; complete lattice is

meet infinite distributive

when

x

T

S

=

T

h

x

∪i

S

for all

x

A

and

S

∈ P

A

.

Definition 15

Infinitely distributive complete lattice

is a complete lattice

which is both join infinite distributive and meet infinite distributive.

Definition 16

A sublattice

K

of a complete lattice

L

is a closed sublattice of

L

if

K

contains the meet and the join of any its nonempty subset.

Theorem 5

Center of a infinitely distributive lattice is its closed sublattice.

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