background image

Lemma 8

The “infinite” at the end of the definition could be equivalently re-

placed with “nonempty” if we assume that

S

is infinite.

Proof

Suppose that some sets from the above definition has a finite intersection

J

of cardinality

n

. Then (thanks

S

is infinite) get one more set

X

S

and we

have

J

X

6

=

and

J

(

N

\

X

)

6

=

. So card(

J

X

)

< n

. Repeating this, we

prove that for some finite family of sets we have empty intersection what is a
contradiction.

Lemma 9

There exists an independent family on

N

of cardinality

c

.

Proof

Let

C

be the set of finite subsets of

Q

. Since card

C

= card

N

, it suffices

to find

c

independent subsets of

C

. For each

r

R

let

E

r

=

{

F

C

|

card(

F

(

−∞

;

r

)) is even

}

.

All

E

r

1

and

E

r

2

are distinct for distinct

r

1

, r

2

R

since we may consider

F

=

{

r

} ∈

C

where a rational number

r

is between

r

1

and

r

2

and thus

F

is a

member of exactly one of the sets

E

r

1

and

E

r

2

. Thus card

{

E

r

|

r

R

}

=

c

.

We will show that

{

E

r

|

r

R

}

is independent. Let

r

1

, . . . , r

k

, s

1

, . . . , s

k

be

distinct reals. Enough to show that these have a nonempty intersection, that is
existence of some

F

such that

F

belongs to all the

E

r

and none of

E

s

.

But this can be easily accomplished taking

F

having zero or one element in

each of intervals to which

r

1

, . . . , r

k

, s

1

, . . . , s

k

split the real line.

Example 6

There exists a weak partition which is not a strong partition.

Proof

(suggested by Andreas Blass) Let

{

X

r

|

r

R

}

be an independent

family of subsets of

N

.

Let

F

a

be a filter object generated by

X

a

and the complements

N

\

X

b

for

all

b

R

, b

6

=

a

. Independece implies that

F

a

6

=

(by properties of filter bases).

Let

S

=

{F

r

|

r

R

}

. We will prove that

S

is a weak partition but not a

strong partition.

Let

a

R

. Then

X

a

up

F

a

while

b

R

\{

a

}

:

N

\

X

a

up

F

b

and therefore

N

\

X

a

up

S

F

{F

b

|

R

b

6

=

a

}

. Therefore

F

a

F

S

F

{F

b

|

R

b

6

=

a

}

=

.

Thus

S

is a weak partition.

Suppose

S

is a strong partition. Then for each set

Z

∈ P

R

[

F

{F

b

|

b

Z

} ∩

F

[

F

{F

b

|

b

R

\

Z

}

=

what is equivalent to existence of

M

(

Z

)

∈ P

N

such that

M

(

Z

)

up

[

F

{F

b

|

b

Z

}

and

N

\

M

(

Z

)

up

[

F

{F

b

|

b

R

\

Z

}

=

that is

b

Z

:

M

(

Z

)

up

F

b

and

b

R

\

Z

:

N

\

M

(

Z

)

up

F

b

.

58