background image

Example 2

There exists

A

∈ P

U

such that

T

F

A

6

=

T

P

U

A

for some set

U

.

Proof

T

P

R

{

(

a

;

a

)

|

a

R

, a >

0

}

=

{

0

} 6

= ∆.

Example 3

There exists a set

U

and there are a f.o.

a

and a set

S

of f.o. on

the lattice

P

U

such that

a

F

S

F

S

6

=

S

F

a

F

S

.

Proof

Let

a

= ∆ and

S

=

{

(

ε

; +

)

|

ε >

0

}

. Then

a

F

S

F

S

= ∆

F

(0; +

)

6

=

while

S

F

a

F

S

=

S

F

{∅}

=

.

Example 4

There are thornings which are not weak partitions.

Proof

{

∆ +

a

|

a

R

}

is a thorning but not weak partition of the real line.

Lemma 7

Let

F

be the set of f.o. on a set

U

. Then

X

F

Y

F

iff

X

\

Y

is a finite set, for every sets

X, Y

∈ P

U

.

Proof

X

F

Y

F

⇔ {

X

K

X

|

K

X

up Ω

} ⊇ {

Y

K

Y

|

K

Y

up Ω

} ⇔

K

Y

up Ω

K

X

up Ω :

Y

K

Y

=

X

K

X

⇔ ∀

L

Y

M

L

X

M

:

Y

\

L

Y

=

X

\

L

X

⇔ ∀

L

Y

M

:

X

\

(

Y

\

L

Y

)

M

X

\

Y

M

where

M

is the set of

finite subsets of

U

.

Example 5

There exists a filter object

A

on a set

U

such that (

P

U

)

/

and

Z

(

D

A

) are not complete lattices.

Proof

Due isomorphism it’s enough to prove for (

P

U

)

/

.

Let’s take

U

=

N

and

A

= Ω be the Frechet filter object on

N

.

Partition

N

into infinitely many infinite sets

A

0

, A

1

, . . .

. To withhold our

example we will prove that the set

{

[

A

0

]

,

[

A

1

]

, . . .

}

has no supremum in (

P

U

)

/

.

Let [

X

] be an upper bound of [

A

0

]

,

[

A

1

]

, . . .

that is

i

N

:

X

A

i

that is

A

i

\

X

is finite. Consequently

X

is infinite. So

X

A

i

6

=

.

Choose for every

i

N

some

z

i

X

A

i

. Then

{

z

0

, z

1

, . . .

}

is an infinite

subset of

X

(take in account that

z

i

6

=

z

j

for

i

6

=

j

). Let

Y

=

X

\ {

z

0

, z

1

, . . .

}

.

Then

Y

F

A

i

F

Ω because

A

i

\

Y

=

A

i

\

(

X

\ {

z

i

}

) = (

A

i

\

X

)

∪ {

z

i

}

which

is finite because

A

i

\

X

is finite. Thus [

Y

] is an upper bound for

{

[

A

0

]

,

[

A

1

]

, . . .

}

.

Suppose

Y

F

Ω =

X

F

Ω. Then

Y

\

X

is finite what is not true. So

Y

F

X

F

Ω that is [

Y

] is below [

X

].

Appendix A.1. Weak and strong partition

Definition 78

A family

S

of subsets of a countable set is

independent

iff the

intersection of any finitely many members of

S

and the complements of any

other finitely many members of

S

is infinite.

57