 19.3. Non-formal problems

Should we introduce the concept of star objects, analogous to filter objects,

and research the lattice of star objects?

Find a common generalization of two theorems:

1. If

A

is a meet-semilattice with greatest element 1 then for any

A

,

B ∈

F

up(

A ∪

F

B

) = up

A ∩

up

B

.

2. If

A

is a join-semilattice then

F

is a join-semilattice then and for any

A

,

B ∈

F

up(

A ∪

F

B

) = up

A ∩

up

B

.

Under which conditions

a

\

b

and

a

#

b

are complementive to

a

?

Generalize straight maps for arbitrary posets.

Appendix A. Some counter-examples

Example 1

There exist a bounded distributive lattice which is not lattice with

separable center.

Proof

The lattice with the following Hasse diagram is bounded and distribu-

tive because it does not contain “diamond lattice” nor “pentagon lattice” as a
sublattice .

a

0

1

y

x

It’s center is

{

0

,

1

}

.

x

y

= 0 indeed up

x

=

{

1

}

but 1

y

6

= 0 consequently

the lattice is not with separable center.

For further examples we will use the filter object ∆ defined by the formula

∆ =

\

F

{

(

ε

;

ε

)

|

ε

R

, ε >

0

}

and more general

∆ +

a

=

\

F

{

(

a

ε

;

a

+

ε

)

|

ε

R

, ε >

0

}

.

56