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19. Open problems

In this section I will formulate some conjectures about lattices of filter objects

on a set. If a conjecture comes true, it may be generalized for more general
lattices (such as, for example, lattices of filters on arbitrary lattices). I deem
that the main challenge is to prove the special case about lattices of filter objects
on a set, and generalizing the conjectures is expected to be a simple task.

19.1. Partitioning

Consider the complete lattice [

S

] generated by the set

S

where

S

is a strong

partition of some element

a

.

Conjecture 1

[

S

] =

S

F

X

|

X

∈ P

S

 

, where

[

S

]

is the complete lattice gen-

erated by a strong partition

S

of an element of a lattice

F

of filter objects on a

set.

Proposition 39

Provided that the last conjecture is true, we have that

[

S

]

is a

complete atomic boolean lattice with the set of its atoms being

S

.

Remark 13

Consequently

S

is atomistic, completely distributive and isomor-

phic to a power set algebra (see [13]).

Proof

Completeness of [

S

] is obvious. Let

A

[

S

]. Then exists

X

∈ P

S

such that

A

=

S

F

X

. Let

B

=

S

F

(

S

\

X

). Then

B

[

S

] and

A

B

= 0.

A

B

=

S

F

S

is the biggest element of [

S

]. So we have proved that [

S

] is a

boolean lattice.

Now let prove that [

S

] is atomic with the set of atoms being

S

. Let

z

S

and

A

[

S

]. If

A

6

=

z

then either

A

= 0 or

x

X

where

A

=

S

F

X

,

X

∈ P

S

and

x

6

=

z

. Because

S

is a partition,

S

F

(

X

\{

z

}

)

F

z

= 0 and

S

F

(

X

\{

z

}

)

6

= 0.

So

A

=

S

F

X

=

S

F

(

X

\ {

z

}

)

F

z

*

z

.

Finally we will prove that elements of [

S

]

\

S

are not atoms. Let

A

[

S

]

\

S

and

A

6

= 0. Then

A

x

F

y

where

x, y

S

and

x

6

=

y

. If

A

is an atom then

A

=

x

=

y

what is impossible.

Proposition 40

The conjecture about the value of

[

S

]

is equivalent to closed-

ness of

S

F

X

|

X

∈ P

S

 

under arbitrary meets and joins.

Proof

If

S

F

X

|

X

∈ P

S

 

= [

S

] then trivially

S

F

X

|

X

∈ P

S

 

is closed

under arbitrary meets and joins.

If

S

F

X

|

X

∈ P

S

 

is closed under arbitrary meets and joins, then it is

the complete lattice generated by the set

S

because it cannot be smaller than

the set of all suprema of subsets of

S

.

That

S

F

X

|

X

∈ P

S

 

is closed under arbitrary joins is trivial. I have not

succeeded to prove that it is closed under arbitrary meets, but have proved a
weaker statement that is is closed under finite meets:

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