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This isomorphism is useful in both directions to reveal properties of both

lattices

Z

(

D

A

) and (

P

U

)

/

.

Corollary 22

If

A

is a boolean lattice then

A

/

is a boolean lattice.

Proof

Because

Z

(

D

A

) is a boolean lattice (theorem 6).

17. Number of filters on a set

Theorem 73

Let

U

be a set. The number of atomic f.o. on

U

is

2

2

card

U

if

U

is infinite and

card

U

if

U

is finite.

Proof

See [10].

Corollary 23

The number of filters on

U

is

2

2

card

U

if

U

is infinite and

2

card

U

if

U

is finite.

Proof

The finite case is obvious. The infinite case follows from the theorem

and the fact that filters are collections of sets and there cannot be more than
2

2

card

U

collections of sets on

U

.

18. Partitioning filter objects

Definition 75

Let

A

be a complete lattice.

Thorning

of an element

a

A

is

a set

S

∈ P

A

\ {

0

}

such that

[

A

S

=

a

and

x, y

S

:

x

A

y.

Definition 76

Let

A

be a complete lattice.

Weak partition

of an element

a

A

is a set

S

∈ P

A

\ {

0

}

such that

[

A

S

=

a

and

x

S

:

x

A

[

A

(

S

\ {

x

}

)

.

Definition 77

Let

A

be a complete lattice.

Strong partition

of an element

a

A

is a set

S

∈ P

A

\ {

0

}

such that

[

A

S

=

a

and

A, B

∈ P

S

:

A

B

[

A

A

A

[

A

B

.

Obvious 23

1. Every strong partition is a weak partition.

2. Every weak partition is a thorning.

See the section “Open problems” for supposed properties of partitions.

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