background image

15. Fr´

echet filter

The consideration below is about filters on a set

U

, but this can be gen-

eralized for filters on complete atomic boolean algebras due complete atomic
boolean algebras are isomorpic to algebras of sets on some set

U

.

Definition 71

{

U

\

X

|

X

is a finite subset of

U

}

is called either

Fr´

echet fil-

ter

or

cofinite filter

.

It is trivial that Fr´echet filter is a filter.

Definition 72

I will call

Fr´

echet f. o.

and denote

the filter object corre-

sponding to the Fr´echet filter.

Proposition 35

Cor Ω =

.

Proof

This can be deduced from the formula

α

U

X

up Ω :

α

6∈

X

.

Theorem 69

max

{X ∈

F

|

Cor

X

=

∅}

= Ω

.

Proof

Due the last proposition, enough to show that Cor

X

=

∅ ⇒ X ⊆

Ω for

every f.o.

X

.

Let Cor

X

=

for some f.o.

X

. Let

X

up Ω. We need to prove that

X

up

X

.

X

=

U

\ {

α

0

, . . . , α

n

}

.

U

\ {

α

i

} ∈

up

X

because otherwise

α

i

Cor

X

. So

X

up

X

.

Theorem 70

Ω =

S

F

{

x

|

x

is a non-trivial atomic f.o.

}

.

Proof

It follows from the facts that Cor

x

=

for every non-trivial atomic f.o.

x

, that

F

is an atomistic lattice, and the previous theorem.

Theorem 71

Cor

is the lower adjoint of

F

.

Proof

Because both Cor and Ω

F

are monotone, it is enough (theorem 8)

to prove (for every filter objects

X

and

Y

)

X ⊆

F

Cor

X

and

Cor(Ω

F

Y

)

⊆ Y

.

Cor(Ω

F

Y

) = Cor Ω

Cor

Y

=

∅ ∪

Cor

Y

= Cor

Y ⊆ Y

.

F

Cor

X ⊇

Edg

X ∪

F

Cor

X

=

X

.

Corollary 20

Cor

X

=

X \

for any f.o. on a set.

Proof

By the theorem 13.

Corollary 21

Cor

S

F

S

=

S

h

Cor

i

S

for any set

S

of f.o. on a set.

Proof

By the theorem 12.

50