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Theorem 1

If

A

is a distributive lattice then

atoms(

a

b

) = atoms

a

atoms

b

for every

a, b

A

.

Proof

For any atomic element

c

c

atoms(

a

b

)

c

(

a

b

) is not least

(

c

a

)

(

c

b

) is not least

c

a

is not least or

c

b

is not least

c

atoms

a

c

atoms

b.

Theorem 2

atoms

T

S

=

T

h

atoms

i

S

whenever

T

S

is defined for every

S

P

A

where

A

is a poset.

Proof

For any atom

c

c

atoms

\

S

c

\

S

a

S

:

c

a

a

S

:

c

atoms

a

c

\

h

atoms

i

S.

Corollary 1

atoms(

a

b

) = atoms

a

atoms

b

for arbitrary meet-semilattice.

Theorem 3

A complete boolean lattice is atomic iff it is atomistic.

Proof

Obvious.

Let

A

be an atomic boolean lattice. Let

a

A

. Suppose

b

=

S

atoms

a

a

.

If

x

atoms(

a

\

b

) then

x

a

\

b

and so

x

a

and hence

x

b

. But we

have

x

=

x

b

(

a

\

b

)

b

= 0 what contradicts to our supposition.

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