background image

Definition 70

The

edge part

of an element

a

A

is

Edg

a

=

a

\

Cor

a

, the

dual edge part

is

Edg

a

=

a

\

Cor

a

.

Proposition 33

For a primary filtrator over a complete boolean lattice both

edge part and dual edge part are always defined.

Proof

Using the theorem 39.

Knowing core part and edge part or dual core part and dual edge part of a

filter object, the filter object can be restored by the formulas:

a

= Cor

a

A

Edg

a

and

a

= Cor

a

A

Edg

a

.

13.1. Core part and atomic elements

Proposition 34

Let

(

A

;

Z

)

be a filtrator with join-closed core and

Z

is an atom-

istic lattice. Then for every

a

A

such that

Cor

a

exists we have

Cor

a

=

[

Z

{

x

|

x

is an atom of

Z

, x

a

}

.

Proof

Cor

a

=

[

Z

{

A

Z

|

A

a

}

=

[

Z

n[

Z

atoms

Z

A

|

A

Z

, A

a

o

=

[

Z

atoms

Z

A

|

A

Z

, A

a

 

=

[

Z

{

x

|

x

is an atom of

Z

, x

a

}

.

14. Distributivity of core part over lattice operations

Theorem 64

If

(

A

;

Z

)

is a join-closed filtrator and

A

is a meet-semilattice and

Z

is a complete lattice, then

Cor

(

a

A

b

) = Cor

a

Z

Cor

b.

Proof

From theorem conditions follows that Cor

(

a

A

b

) exists.

We have Cor

p

p

for every

p

A

because our filtrator is with join-closed

core.

Obviously Cor

(

a

A

b

)

Cor

a

and Cor

(

a

A

b

)

Cor

b

.

If

x

Cor

a

and

x

Cor

b

for some

x

Z

then

x

a

and

x

b

, thus

x

a

A

b

and

x

Cor

(

a

A

b

).

48