 Proposition 32

(

a

b

)

\

b

a

for an arbitrary complete lattice.

Proof

(

a

b

)

\

b

=

T

{

z

A

|

a

b

b

z

}

.

But

a

z

a

b

b

z

. So

{

z

A

|

a

b

b

z

} ⊇ {

z

A

|

a

z

}

.

Consequently, (

a

b

)

\

b

T

{

z

A

|

a

z

}

=

a

.

13. Complements and core parts

Lemma 6

If

(

A

;

Z

)

is a filtered, up-aligned filtrator with co-separable core which

is a complete lattice, then for any

a, c

A

c

A

a

c

A

Cor

a.

Proof

If

c

A

a

then by co-separability of the core exists

K

down

a

such that

c

A

K

. To finish the proof we will show that

K

Cor

a

. To show this

is enough to show that

X

up

a

:

K

X

what is obvious.

Because Cor

a

a

(by the theorem 24 using that our filtrator is filtered).

Theorem 60

If

(

A

;

Z

)

is a filtered up-aligned complete lattice filtrator with co-

separable core which is a complete boolean lattice, then

a

+

= Cor

a

for every

a

A

.

Proof

Our filtrator is with join-closed core.

a

+

=

\

A

c

A

|

c

A

a

= 1

=

\

A

c

A

|

c

A

Cor

a

= 1

=

\

A

c

A

|

c

Cor

a

=

Cor

a.

(used the lemma and the theorem 27).

Corollary 18

If

(

A

;

Z

)

is a filtered up-aligned complete lattice filtrator with co-

separable core which is a complete boolean lattice, then

a

+

Z

for every

a

A

.

Theorem 61

If

(

A

;

Z

)

is a filtered complete lattice filtrator with down-aligned,

finitely meet-closed, separable core which is a complete boolean lattice, then

a

=

Cor

a

= Cor

a

.

46