 Lemma 5

A filter base generated by an infinite set has the same cardinality as

that set.

Proof

From the previous lemma.

Definition 65

Let

A

be a complete lattice. A set

S

∈ P

A

is

filter-closed

when

for every filter base

T

∈ P

S

we have

T

T

S

.

Theorem 55

A subset

S

of a complete lattice is filter-closed iff for every nonempty

chain

T

∈ P

S

we have

T

T

S

.

Proof

(proof sketch by Joel David Hamkins)

Because every nonempty chain is a filter base.

We will assume that cardinality of a set is an ordinal defined by von Neumann

cardinal assignment (what is a standard practice in ZFC). Recall that

α < β

α

β

for ordinals

α

,

β

.

We will take it as given that for every nonempty chain

T

∈ P

S

we have

T

T

S

.

We will prove the following statement: If card

S

=

n

then

S

is filter closed,

for any cardinal

n

.

Instead we will prove it not only for cardinals but for wider class of ordi-
nals: If card

S

=

n

then

S

is filter closed, for any ordinal

n

.

We will prove it using transfinite induction by

n

.

For finite

n

we have

T

T

S

because

T

S

has minimal element.

Let card

T

=

n

be an infinite ordinal.

Let the assumption of induction holds for every

n

card

T

.

We can assign

T

=

{

a

α

|

α

card

T

}

for some

a

α

because card card

T

=

card

T

.

Consider

β

card

T

.

Let

P

β

=

{

a

α

|

α

β

}

. Let

b

β

=

T

P

β

. Obviously

b

β

=

T

[

P

β

]

. We

have

card[

P

β

]

= card

P

β

= card

β <

card

T

(used the lemma and von Neumann cardinal assignment). By the assump-
tion of induction

b

β

S

.

β

card

T

:

P

β

T

and thus

b

β

T

T

.

Easy to see that the set

{

P

β

|

β

card

T

}

is a chain. Consequently

{

b

β

|

β

card

T

}

is a chain.

By theorem conditions

b

=

T

{

b

β

|

β

card

T

} ∈

S

(taken in account

that

b

β

S

).

Obviously

b

T

T

.

41