background image

Then

F

=

[

A

K

L

|

L

Z

,

F ∩

A

L

6

= 0

 

.

Obviously

F

⊆ F

. We have

L

A

F 6

= 0

L

Z

F 6

= 0

L

A

F 6

=

0

K

L

Z

F

6

= 0

L

Z

F

6

= 0, thus by star separability of our filtrator

F ⊆

F

and so

F

=

F

Z

.

Theorem 54

If

A

is a complete boolean lattice then for each

F ∈

F

F ∈

A

⇔ ∀

S

∈ P

A

:

[

A

S

F ⇒

S

F 6

=

.

Proof

S

∈ P

A

:

[

A

S

F ⇒

S

F 6

=

S

∈ P

A

:

[

A

S

6∈

F ⇐

S

F

=

S

∈ P

A

:

[

A

S

up

F ⇐ h¬i

S

up

F

S

∈ P

A

:

\

A

S

up

F ⇐

S

up

F

,

but

F ∈

A

S

∈ P

A

:

\

A

S

up

F ⇐

S

up

F

\

A

up

F ∈

up

F

F ∈

A

.

Definition 64

Let

S

be a subset of a meet-semilattice. The

filter base gen-

erated by

S

is the set

[

S

]

def

=

{

a

0

. . .

a

n

|

a

i

S, i

= 0

,

1

, . . .

}

.

Lemma 4

The set of all finite subsets of an infinite set

A

has the same cardi-

nality as

A

.

Proof

Let denote the number of

n

-element subsets of

A

as

s

n

. Obviously

s

n

6

card

A

n

= card

A

. Then the number

S

of all finite subsets of

A

is equal to

s

0

+

s

1

+

. . .

6

card

A

+ card

A

+

. . .

= card

A

. That

S

>

card

A

is obvious. So

S

= card

A

.

40