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Proof

Let

a

be an atom of

A

. up

a

∂a

because

a

6

= 0. up

a

∂a

because for any

K

A

K

up

a

K

a

K

A

a

6

= 0

K

∂a.

Let up

a

=

∂a

. Then

a

6

= 0. Consequently for every

x

A

we have

0

x

a

x

A

a

6

= 0

K

up

x

:

K

∂a

K

up

x

:

K

up

a

up

x

up

a

x

a.

So

a

is an atom of

A

.

10.1. Prime filtrator elements

Definition 63

Let

(

A

;

Z

)

be a down-aligned filtrator with least element

0

.

Prime

filtrator elements are such

a

A

that

up

a

is a free star.

Proposition 30

Let

(

A

;

Z

)

be a down-aligned filtrator with finitely join-closed

core, where

A

is a distributive lattice and

Z

is a join-semilattice. Then atomic

elements of this filtrator are prime.

Proof

Let

a

be an atom of the lattice

A

. We have for every

X, Y

Z

X

Z

Y

up

a

X

A

Y

up

a

X

A

Y

a

(

X

A

Y

)

A

a

6

= 0

(

X

A

a

)

A

(

Y

A

a

)

6

= 0

X

A

a

6

= 0

Y

A

a

6

= 0

X

a

Y

a

X

up

a

Y

up

a.

The following theorem is essentially borrowed from [8]:

Theorem 52

Let

A

be a boolean lattice. Let

a

be a f.o. Then the following are

equivalent:

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