background image

Proof

Because (used the theorem 20)

F

is atomic (the theorem 47) and sepa-

rable.

Corollary 17

If

A

is a boolean lattice then

F

is atomically separable.

Proof

By the theorem 14.

Theorem 49

When the base poset

A

is a boolean lattice, then the filtrator

(

F

;

A

)

is central.

Proof

We can conclude that

F

is atomically separable (the corollary 17) and

with separable core (the theorem 37).

We need to prove that

Z

(

F

) =

A

.

Let

X ∈

Z

(

F

). Then exists

Y ∈

Z

(

F

) such that

X ∩

F

Y

= 0 and

X ∪

F

Y

= 1.

Consequently there are

X

up

X

such that

X

F

Y

= 0; we have also

X

F

Y

= 1.

Suppose

X

⊃ X

. Then exists

a

atoms

F

X

such that

a

6∈

atoms

F

X

. We can

conclude also

a

6∈

atoms

F

Y

(otherwise

X

F

Y 6

= 0). Thus

a

6∈

atoms

F

(

X ∪

F

Y

)

and consequently

X ∪

F

Y 6

= 1 what is a contradiction. We have

X

=

X

A

.

Let now

X

A

. Let

Y

= 1

\

A

X

. We have

X

A

Y

= 0 and

X

A

Y

= 1.

Thus

X

F

Y

=

T

A

X

A

Y

 

= 0;

X

F

Y

=

T

F

(up

X

up

Y

) =

T

F

{

1

}

= 1.

We have shown that

X

Z

(

F

).

10. Atomic filter objects

See [2] and [4] for more detailed treatment of ultrafilters and prime filters.

Theorem 50

Let

(

A

;

Z

)

be a semifiltered down-aligned filtrator with finitely

meet-closed core

Z

which is a meet-semilattice. Then

a

is an atom of

Z

iff

a

Z

and

a

is an atom of

A

.

Proof

Obvious.

We need to prove that if

a

is an atom of

Z

then

a

is an atom of

A

. Suppose

the contrary that

a

is not an atom of

A

. Then exists

x

A

such that

0

6

=

x

a

. Because “up” is a straight monotone map from

A

to the

dual of the poset

P

Z

(the theorem 10), up

a

up

x

. So exists

K

up

x

such that

K /

up

a

. Also

a

up

x

. We have

K

Z

a

=

K

A

a

up

x

;

K

Z

a

6

= 0 and

K

Z

a

a

. So

a

is not an atom of

Z

.

Theorem 51

Let

(

A

;

Z

)

be a down-aligned semifiltered filtrator and

A

is a meet-

semilattice. Then

a

A

is an atom of

A

iff

up

a

=

∂a

.

37