background image

Proof

A ⊆

B ⇔

X

|

X

A

\

up

A

 

X

|

X

A

\

up

B

 

A

\

up

A ⊆

A

\

up

B

up

A ⊇

up

B

A ⊆ B

.

Corollary 16

is a straight monotone map.

Theorem 46

If

A

is a boolean lattice then

S

F

S

=

S

h

i

S

.

Proof

For boolean lattices

is an order embedding from the poset

F

to the

complete lattice

P

A

. So accordingly the lemma it enough to prove that it

exists

F ∈

F

such that

F

=

S

h

i

S

. To prove this is enough to show that

0

6∈

S

h

i

S

and

A, B

S

:

A

A

B

[

h

i

S

A

[

h

i

S

B

[

h

i

S

.

0

6∈

S

h

i

S

is obvious.

Let

A

A

B

S

h

i

S

. Then exists

Q

∈ h

i

S

such that

A

A

B

Q

.

Then

A

Q

B

Q

, consequently

A

S

h

i

S

B

S

h

i

S

. Let now

A

S

h

i

S

. Then exists

Q

∈ h

i

S

such that

A

Q

, consequently

A

A

B

Q

and

A

A

B

S

h

i

S

.

9.4. More about the lattice of filters

Theorem 47

If

A

is a distributive lattice with greatest element then

F

is an

atomic lattice.

Proof

Let

F ∈

F

. Let choose (by Kuratowski’s lemma) a maximal chain

S

from 0 to

F

. Let

S

=

S

\ {

0

}

.

a

=

T

F

S

6

= 0 by properties of generalized filter

bases (the corollary 12 which uses the fact that

A

is a distributive lattice with

least element). If

a

6∈

S

then then the chain

S

can be extended adding there

element

a

because 0

a

⊆ X

for any

X ∈

S

what contradicts to maximality

of the chain. So

a

S

and consequently

a

S

. Obviously

a

is the minimal

element of

S

. Consequently (taking in account maximality of the chain) there

are no

Y ∈

F

such that 0

⊂ Y ⊂

a

. So

a

is an atomic filter object. Obviously

a

⊆ F

.

Obvious 20

If

A

is a boolean lattice then

F

is separable.

Theorem 48

If

A

is a boolean lattice then

F

is an atomistic lattice.

36