background image

Corollary 14

If

A

is a boolean lattice,

X

up

A ⇔

X

6∈

A

for every

X

A

,

A ∈

F

.

Corollary 15

If

A

is a boolean lattice,

is an injection.

Theorem 45

If

A

is a boolean lattice, then for any set

S

∈ P

A

exists filter

object

A

such that

A

=

S

iff

S

is a free star.

Proof

That 0

/

S

is obvious. For every

A, B

A

A

A

B

S

(

A

A

B

)

F

A 6

= 0

(

A

F

B

)

F

A 6

= 0

(

A

F

A

)

F

(

B

F

A

)

6

= 0

A

F

A 6

= 0

B

F

A 6

= 0

A

S

B

S.

(taken into account the corollary 10 and theorem 23).

Let 0

6∈

S

and

A, B

S

: (

A

A

B

S

A

S

B

S

). Let

T

=

X

|

X

A

\

S

 

. We will prove that

T

is a filter.

1

T

because 0

6∈

S

; so

T

is nonempty. To prove that

T

is a filter is

enough to show that

X, Y

A

: (

X, Y

T

X

A

Y

T

). In fact,

X, Y

T

X, Y /

S

¬

(

X

S

Y

S

)

X

A

Y

6∈

S

X

A

Y

T

X

A

Y

T.

So

T

is a filter. Let up

A

=

T

for some filter object

A

.

To finish the proof we will show that

A

=

S

. In fact, for every

X

A

X

A ⇔

X

6∈

up

A ⇔

X

6∈

T

X

S.

Proposition 29

If

A

is a boolean lattice then

A ⊆ B ⇔

A ⊆

B

for every

A

,

B ∈

F

.

35