background image

Proof

For every

A, B

Z

A

Z

B

∂a

A

A

B

∂a

(

A

A

B

)

A

a

6

= 0

(

A

A

a

)

A

(

B

A

a

)

6

= 0

A

A

a

6

= 0

B

A

a

6

= 0

A

∂a

∨ ∈

∂a.

That

∂a

doesn’t contain 0 is obvious.

Definition 62

I call a filtrator

star-separable

when its core is a separation

subset of its base.

9.3. Stars of filters on boolean lattices

In this section we will consider the set of filter objects

F

on a boolean lattice

A

.

Theorem 44

If

A

is a boolean lattice and

A ∈

F

then

1.

A

=

X

|

X

A

\

up

A

 

;

2.

up

A

=

X

|

X

A

\

A

 

.

Proof

1. For any

K

A

(taking into account the theorems 29, 37, and 27)

K

X

|

X

A

\

up

A

 

K

A

\

up

A ⇔

K

6∈

up

A ⇔

K

+

A ⇔

K

6≍

F

A ⇔

K

A

.

2. For any

K

A

(taking into account the same theorems)

K

X

|

X

A

\

A

 

K

A

\

A ⇔

K

6∈

A ⇔

K

F

A ⇔

K

⊇ A ⇔

K

up

A

.

34