background image

We need to prove only

X

Y

S

X

S

Y

S

. Let

X

Y

S

.

Because

S

is an upper set, we have

Z

A

: (

Z

X

Y

Z

S

)

and thus

Z

A

: (

Z

X

Z

Y

Z

S

) from which we conclude

X

S

Y

S

.

We need to prove

Z

A

: (

Z

X

Z

Y

Z

S

)

X

S

Y

S

.

But this trivially follows from that

S

is an upper set.

Proposition 27

Let

A

be a join-semilattice.

S

∈ P

A

is a free star iff the least

element (if it exists) is not in

S

and for every

X, Y

A

X

Y

S

X

S

Y

S.

Proof

We need to prove only that

X

Y

S

X

S

Y

S

what follows from

that

S

is an upper set.

We need to prove only that

S

is an upper set. Let

X

S

and

X

Y

A

.

Then

X

S

X

S

Y

S

X

Y

S

Y

S

. So

S

is an upper

set.

9.2. Stars of elements of filtrators

Definition 61

Let

(

A

;

Z

)

be a filtrator.

Core star

of an element

a

of this

filtrator is

∂a

=

x

Z

|

x

6≍

A

a

 

.

Proposition 28

up

a

∂a

for any non-least element

a

of a filtrator.

Proof

For any element

X

Z

X

up

a

a

X

a

a

X

6≍

a

X

∂a.

Theorem 43

Let

(

A

;

Z

)

be a distributive lattice filtrator with least element and

finitely join-closed core which is a join-semilattice. Then

∂a

is a free star for

each

a

A

.

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