background image

Corollary 13

Let

A

be a distributive lattice with least element

0

and let

S

∈ P

A

such that

S

6

=

and

A

0

A

. . .

A

A

n

6

= 0

for every

A

0

, . . . , A

n

S

. Then

T

F

S

6

= 0

.

Proof

Because

A

is finitely meet-closed (by the theorem 29).

9. Stars

9.1. Free stars

Definition 60

Let

A

be a poset.

Free stars

on

A

are such

S

∈ P

A

that the

least element (if it exists) is not in

S

and for every

X, Y

A

Z

A

: (

Z

X

Z

Y

Z

S

)

X

S

Y

S.

Proposition 25

S

∈ P

A

where

A

is a poset is a free star iff all of the following:

1. The least element (if it exists) is not in

S

.

2.

Z

A

: (

Z

X

Z

Y

Z

S

)

X

S

Y

S

for every

X, Y

A

.

3.

S

is an upper set.

Proof

(1) and (2) are obvious. Let prove that

S

is an upper set. Let

X

S

and

X

Y

A

. Then

X

S

X

S

and thus

Z

A

: (

Z

X

Z

X

Z

S

) that is

Z

A

: (

Z

X

Z

S

), and so

Y

S

.

We need to prove that

Z

A

: (

Z

X

Z

Y

Z

S

)

X

S

Y

S.

Let

X

S

Y

S

. Then

Z

X

Z

Y

Z

S

for every

Z

A

because

S

is an upper set.

Proposition 26

Let

A

be a join-semilattice.

S

∈ P

A

is a free star iff all of the

following:

1. The least element (if it exists) is not in

S

.

2.

X

Y

S

X

S

Y

S

for every

X, Y

A

.

3.

S

is an upper set.

Proof

32