background image

Theorem 40

Let

F

be the set of filter objects over a boolean lattice

A

.

A

F

S

F

S

=

S

F

A

F

S

for every

A

A

and every set

S

∈ P

F

.

Proof

Direct consequence of the lemma.

8. Generalized filter base

Definition 58

Generalized filter base

is a filter base on the set

F

.

Definition 59

If

S

is a generalized filter base and

A

=

T

F

S

, then we will call

S

a generalized base of filter object

A

.

Theorem 41

If

A

is a distributive lattice and

S

is a generalized base of filter

object

F

then for any element

K

of the base poset

K

up

F ⇔ ∃L ∈

S

:

L ⊆

K.

Proof

Because

F

=

T

F

S

.

Let

K

up

F

. Then (taken in account distributivity of

A

and that

S

is

nonempty) exist

X

1

, . . . , X

n

S

h

up

i

S

such that

X

1

A

. . .

A

X

n

=

K

.

Consequently (by theorem 29)

X

1

F

. . .

F

X

n

=

K

. Replacing every

X

i

with such

X

i

S

that

X

i

up

X

i

(this is obviously possible to do), we

get a finite set

T

0

S

such that

T

F

T

0

K

. From this exists

C ∈

S

such

that

C ⊆

T

F

T

0

K

.

Corollary 12

If

A

is a distributive lattice with least element

0

and

S

is a

generalized base of filter object

F

then

0

S

⇔ F

= 0

.

Proof

Substitute 0 as

K

.

Theorem 42

Let

A

be a distributive lattice with least element

0

and

S

is a

nonempty set of filter objects on

A

such that

F

0

F

. . .

F

F

n

6

= 0

for every

F

0

, . . . ,

F

n

S

. Then

T

F

S

6

= 0

.

Proof

Consider the set

S

=

F

0

F

. . .

F

F

n

| F

0

, . . . ,

F

n

S

 

.

Obviously

S

is nonempty and finitely meet-closed. So

S

is a generalized filter

base. Obviously 0

6∈

S

. So by properties of generalized filter bases

T

F

S

6

= 0.

But obviously

T

F

S

=

T

F

S

. So

T

F

S

6

= 0.

31