background image

Theorem 38

Let

(

A

;

Z

)

be an up-aligned filtered filtrator whose core is a meet

infinite distributive complete lattice. Then this filtrator is with co-separable core.

Proof

Our filtrator is with join-closed core.

Let

a, b

A

. Cor

a

and Cor

b

exist since

Z

is a complete lattice.

Cor

a

down

a

and Cor

b

down

b

by the corollary since our filtrator is

filtered. So we have

x

down

a, y

down

b

:

x

A

y

= 1

Cor

a

A

Cor

b

= 1

(by finite join-closedness of the core)

Cor

a

Z

Cor

b

= 1

\

Z

up

a

Z

\

Z

up

b

= 1

(by infinite distributivity)

\

Z

x

Z

y

|

x

up

a, y

up

b

 

= 1

x

up

a, y

up

b

:

x

Z

y

= 1

(by finite join-closedness of the core)

x

up

a, y

up

b

:

x

A

y

= 1

a

A

b

= 1

.

7.6. Filters over boolean lattices

Theorem 39

If

A

is a boolean lattice then

a

\

F

B

=

a

F

B

(where the comple-

ment is taken on

A

).

Proof

F

is distributive by the theorem 10. Our filtrator is with finitely meet-

closed core by the theorem 29 and with join-closed core by the theorem 23.

(

a

F

B

)

F

B

= (

a

F

B

)

F

(

B

F

B

) = (

a

F

B

)

F

(

B

A

B

) = (

a

F

B

)

F

1 =

a

F

B

.

(

a

F

B

)

F

B

=

a

F

(

B

F

B

) =

a

F

(

B

A

B

) =

a

F

0 = 0.

So

a

F

B

is the difference of

a

and

B

.

7.7. Distributivity for an element of boolean core

Lemma 3

Let

F

be the set of filter objects over a boolean lattice

A

.

Then

A

F

is a lower adjoint of

A

F

for every

A

A

.

Proof

We will use the theorem 8.

That

A

F

and

A

F

are monotone is obvious.

We need to prove (for every

x, y

F

) that

x

A

F

(

A

F

x

)

and

A

F

(

A

F

y

)

y.

Really,

A

F

(

A

F

x

) = (

A

F

A

)

F

(

A

F

x

) = (

A

A

A

)

F

(

A

F

x

) =

1

F

(

A

F

x

) =

A

F

x

x

and

A

F

(

A

F

y

) = (

A

F

A

)

F

(

A

F

y

) =

(

A

A

A

)

F

(

A

F

y

) = 0

F

(

A

F

y

) =

A

F

y

y

.

30