background image

Proof

Taking in account the previous subsection, we have:

up

A ∪

F

\

F

S

=

up

A ∩

up

\

F

S

=

up

A ∩

n

K

0

A

. . .

A

K

n

|

K

i

[

h

up

i

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

o

=

n

K

0

A

. . .

A

K

n

|

K

0

A

. . .

A

K

n

up

A

, K

i

[

h

up

i

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

o

=

n

K

0

A

. . .

A

K

n

|

K

i

up

A

, K

i

[

h

up

i

S

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

o

=

n

K

0

A

. . .

A

K

n

|

K

i

up

A

, K

i

[

{

up

X | X ∈

S

}

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

o

=

n

K

0

A

. . .

A

K

n

|

K

i

up

A ∩

[

{

up

X | X ∈

S

}

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

o

=

n

K

0

A

. . .

A

K

n

|

K

i

[

{

up

A ∩

up

X | X ∈

S

}

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

o

=

n

K

0

A

. . .

A

K

n

|

K

i

up(

A ∪

F

X

)

| X ∈

S

 

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

o

=

n

K

0

A

. . .

A

K

n

|

K

i

[

h

up

i

A ∪

F

X | X ∈

S

 

where

i

= 0

, . . . , n

for

n

N

o

=

up

\

F

A ∪

F

X | X ∈

S

 

.

Corollary 10

If

A

is a distributive lattice with greatest element, then

F

is also

a distributive lattice.

Corollary 11

If

A

is a distributive lattice with greatest element, then

F

is a

co-brouwerian lattice.

7.5. Separability of core for primary filtrators

Theorem 37

A primary filtrator with least element, whose base is a distributive

lattice, is with separable core.

Proof

Let

A ≍

F

B

where

A

,

B ∈

F

.

up(

A ∩

F

B

) =

A

A

B

|

A

up

A

, B

up

B

 

.

So

A ≍

F

B

0

up(

A ∩

F

B

)

A

up

A

, B

up

B

:

A

A

B

= 0

A

up

A

, B

up

B

:

A

F

B

= 0

(used the theorem 23).

29