background image

Consequently

A ⊇

up

1

R

.

Let now

B ∈

F

and

∀A ∈

S

:

A ⊇ B

. Then

∀A ∈

S

: up

B ⊇

up

A

. up

B ⊇

S

h

up

i

S

. From this up

B ⊇

T

for any finite set

T

S

h

up

i

S

. Consequently

up

B ∋

T

A

T

. Thus up

B ⊇

R

;

B ⊆

up

1

R

.

Comparing we get

T

F

S

= up

1

R

.

Theorem 35

If

A

is a distributive lattice then for any

F

0

, . . . ,

F

m

F

(

m

N

)

up(

F

0

F

. . .

F

F

m

) =

K

0

A

. . .

A

K

m

|

K

i

up

F

i

, i

= 0

, . . . , m

 

.

Proof

Let’s denote the right part of the equality to be proven as

R

. First we

will prove that

R

is a filter. Obviously

R

is nonempty.

Let

A, B

R

. Then

A

=

X

0

A

. . .

A

X

m

,

B

=

Y

0

A

. . .

A

Y

m

where

X

i

, Y

i

up

F

i

.

A

A

B

= (

X

0

A

Y

0

)

A

. . .

A

(

X

m

A

Y

m

)

,

consequently

A

A

B

R

.

Let

R

C

A

.

C

=

A

A

C

= (

X

0

A

C

)

A

. . .

A

(

X

m

A

C

)

R.

So

R

is a filter. Consequently the statement of our theorem is equivalent to

F

0

F

. . .

F

F

m

= up

1

R.

Let

P

i

up

F

i

. Then

P

i

R

because

P

i

= (

P

i

A

P

0

)

A

. . .

A

(

P

i

A

P

m

). So

up

F

i

R

;

F

i

up

1

R

.

Let now

B ∈

F

and

i

∈ {

0

, . . . , m

}

:

F

i

⊇ B

. Then

i

∈ {

0

, . . . , m

}

:

up

F

i

up

B

.

L

i

up

B

for any

L

i

up

F

i

.

L

0

A

. . .

A

L

m

up

B

. So up

B ⊇

R

;

B ⊆

up

1

R

.

So

F

0

F

. . .

F

F

m

= up

1

R

.

Definition 57

I will call a

lattice of filter objects on a set

a set of filter

objects on the lattice of all subsets of a set. (From the above it follows that it is
actually a complete lattice.)

7.4. Distributivity of the lattice of filter objects

Theorem 36

If

A

is a distributive lattice with greatest element,

S

∈ P

F

and

A ∈

F

then

A ∪

F

T

F

S

=

T

F

A∪

F

S

.

28