background image

A filter object

A

is represented by the value of up

A

. We are not interested in

the internal structure of filter objects (which can be inferred from the appendix
Appendix B), but only in the value of up

A

. Thus the name “filter objects”

by analogy with an object in object oriented programming where an object is
completely characterized by its methods, likewise a filter object

A

is completely

characterized by up

A

.

7. Lattice of filter objects

7.1. Minimal and maximal f.o.

Obvious 18

The filter object

0 = up

1

A

(equal to the least element of the

poset

A

if this least exists) is the least element of the poset of filter objects.

Proposition 24

If there exists greatest element

1

of the poset

A

then it is also

the greatest element of the poset of filter objects.

Proof

Take in account that filters are nonempty.

Obvious 19

1. If the base poset has least element, then the primary filtrator

is down-aligned.

2. If the base poset has greatest element, then the primary filtrator is up-aligned.

7.2. Primary filtrator is filtered

Theorem 31

Every primary filtrator is filtered.

Proof

We need to prove that

A

=

T

F

up

A

for every

A ∈

F

.

A

is obviously a lower bound for up

A

.

Let

B

be a lower bound for up

A

that is

K

up

A

:

K

⊇ B

. Then

up

A ⊆

up

B

;

A ⊇ B

. So

A

is the greatest lower bound of up

A

.

7.3. Formulas for meets and joins of filter objects

Lemma 2

If

f

is an order embedding from a poset

A

to a complete lattice

B

and

S

∈ P

A

and exists such

F ∈

A

that

f

F

=

S

B

h

f

i

S

, then

S

A

S

exists and

f

S

A

S

=

S

B

h

f

i

S

.

Proof

f

is an order isomorphism from

A

to

B

|

h

f

i

A

.

f

F ∈

B

|

h

f

i

A

.

Consequently,

S

B

h

f

i

S

B

|

h

f

i

A

and

S

B

|

h

f

i

A

h

f

i

S

=

S

B

h

f

i

S

.

f

S

A

S

=

S

B

|

h

f

i

A

h

f

i

S

because

f

is an order isomorphism.

Combining,

f

S

A

S

=

S

B

h

f

i

S

.

Theorem 32

If

A

is a meet-semilattice with greatest element

1

then

S

F

S

exists

and

up

S

F

S

=

T

P

A

h

up

i

S

for every

S

∈ P

F

.

26