background image

6.1. Definition of filter objects

Let

A

be a poset.

Definition 54

Let

a

def

=

{

x

A

|

x

a

}

for every

a

A

. Elements of the

set

h↑i

A

are called

principal filters

.

Obvious 15

is an injection from

A

to

f

.

Let

M

be a bijection defined on

f

such that

M

◦ ↑

= id

A

. (See the appendix

Appendix B for a proof that such a bijection exists.)

Definition 55

Let

F

= im

M

. I call elements of

F

as

filter objects

(f.o. for

short).

Remark 10

Below we will show that up

A

=

M

1

A

for each

A ∈

F

.

Obvious 16

=

M

1

|

A

.

Obvious 17

M

1

is a bijection

F

f

.

Proposition 22

A

F

.

Proof

x

A

M

x

=

x

x

im

M

x

F

.

6.2. Order of filter objects

Proposition 23

a

b

M

1

a

M

1

b

.

Proof

a

b

⇔↑

a

⊇↑

b

M

1

a

M

1

b

.

As a generalization of the last proposition we may define the order on

F

:

Definition 56

A ⊆ B

def

=

M

1

A ⊇

M

1

B

for all

A

,

B ∈

A

.

I will call the pair (

F

;

A

) the

primary filtrator

.

Theorem 30

For the primary filtrator

(

F

;

A

)

we have

up

A

=

M

1

A

for each

A ∈

F

.

Proof

x

up

A ⇔

x

⊇ A ⇔

M

1

x

M

1

A ⇔↑

x

M

1

A ⇔

x

M

1

A

for every

x

A

.

So we have:

”up” is a bijection from

F

to

f

.

• A ⊆ B ⇔

up

A ⊇

up

B

for each

A

,

B ∈

F

.

up

a

=

a

for every

a

A

.

25