background image

Obvious 14

A nonempty chain is a filter base.

Definition 52

Upper set

is a subset

F

of

A

such that

X

F, Y

A

: (

Y

X

Y

F

)

.

Definition 53

Filter is a subset of

A

which is both filter base and upper set. I

will denote the set of filters

f

.

Proposition 18

If

1

is the maximal element of

A

then

1

F

for any filter

F

.

Proof

If 1

6∈

F

then

K

A

:

K

6∈

F

and so

F

is empty what is impossible.

Proposition 19

Let

S

be a filter base. If

A

0

, . . . , A

n

S

(

n

N

), then

C

S

: (

C

A

0

...

C

A

n

)

.

Proof

It can be easily proved by induction.

The dual of filters is called

ideals

. We do not use ideals in this work however.

5.2. Filters on meet-semilattice

Theorem 28

If

A

is a meet-semilattice and

F

is a nonempty subset of

A

then

the following conditions are equivalent:

1.

F

is a filter.

2.

X, Y

F

:

X

Y

F

and

F

is an upper set.

3.

X, Y

A

: (

X, Y

F

X

Y

F

)

.

Proof

(1)

(2)

Let

F

be a filter. Then

F

is an upper set. If

X, Y

F

then

Z

X

Z

Y

for some

Z

F

. Because

F

is an upper set and

Z

X

Y

then

X

Y

F

.

(2)

(1)

Let

X, Y

F

:

X

Y

F

and

F

is an upper set. We need to prove

that

F

is a filter base. But it is obvious taking

Z

=

X

Y

(we have also

taken in account that

F

6

=

).

(2)

(3)

Let

X, Y

F

:

X

Y

F

and

F

is an upper set. Then

X, Y

A

: (

X, Y

F

X

Y

F

)

.

Let

X

Y

F

; then

X, Y

F

because

F

is an upper set.

23