background image

Obvious 13

Co-separability is the dual of separability.

Proposition 17

Let

A

be a filtrator.

A

is a filtrator with co-separable core iff

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

down

x, Y

down

y

:

X

A

Y

)

.

Proof

By duality.

4.3. Intersecting and joining with an element of the core

Definition 49

I call

down-aligned

filtrator such a filtrator

(

A

;

Z

)

that

A

and

Z

have common least element. (Let’s denote it

0

.)

Definition 50

I call

up-aligned

filtrator such a filtrator

(

A

;

Z

)

that

A

and

Z

have common greatest element. (Let’s denote it

1

.)

Theorem 27

For a filtrator

(

A

;

Z

)

where

Z

is a boolean lattice, for every

B

Z

,

A ∈

A

:

1.

B

A

A ⇔

B

⊇ A

if it is down-aligned, with finitely meet-closed and sepa-

rable core;

2.

B

A

A ⇔

B

⊆ A

if it is up-aligned, with finitely join-closed and co-

separable core.

Proof

We will prove only the first as the second is dual.

B

A

A ⇔

A

up

A

:

B

A

A

A

up

A

:

B

A

A

= 0

A

up

A

:

B

Z

A

= 0

A

up

A

:

B

A

B

up

A ⇔

B

⊇ A

.

5. Filters

5.1. Filters on posets

Let

A

be a poset (partially ordered set) with the partial order

. I will call

it

the base poset

.

Definition 51

Filter base

is a nonempty subset

F

of

A

such that

X, Y

F

Z

F

: (

Z

X

Z

Y

)

.

22