background image

Proof

Cor

a

=

T

Z

up

a

T

A

up

a

=

a

.

Corollary 6

Cor

a

down

a

whenever

Cor

a

exists for any element

a

of a

filtered filtrator.

Theorem 25

Cor

a

a

whenever

Cor

a

exists for any element

a

of a filtrator

with join-closed core.

Proof

Cor

a

=

S

Z

down

a

=

S

A

down

a

a

.

Corollary 7

Cor

a

down

a

whenever

Cor

a

exists for any element

a

of a

filtrator with join-closed core.

Proposition 15

Cor

a

Cor

a

whenever both

Cor

a

and

Cor

a

exist for any

element

a

of a filtrator with join-closed core.

Proof

Cor

a

=

T

Z

up

a

Cor

a

because

A

up

a

: Cor

a

A

.

Theorem 26

Cor

a

= Cor

a

whenever both

Cor

a

and

Cor

a

exist for any ele-

ment

a

of a filtered filtrator.

Proof

It is with join-closed core because it is semifiltered. So Cor

a

Cor

a

.

Cor

a

down

a

. So Cor

a

S

Z

down

a

= Cor

a

.

Obvious 12

Cor

a

= max down

a

for an element

a

of a filtrator with join-

closed core.

4.2. Filtrators with separable core

Definition 47

Let

A

be a filtrator.

A

is a

filtrator with separable core

when

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

up

x

:

X

A

y

)

.

Proposition 16

Let

A

be a filtrator.

A

is a filtrator with separable core iff

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

up

x, Y

up

y

:

X

A

Y

)

.

Proof

Apply the definition twice.

Obvious.

Definition 48

Let

A

be a filtrator.

A

is a

filtrator with co-separable core

when

x, y

A

: (

x

A

y

⇒ ∃

X

down

x

:

X

A

y

)

.

21