background image

4 Filtrators

19

4.1

Core part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4.2

Filtrators with separable core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.3

Intersecting and joining with an element of the core . . . . . . .

22

5 Filters

22

5.1

Filters on posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

5.2

Filters on meet-semilattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

5.3

Characterization of finitely meet-closed filtrators . . . . . . . . .

24

6 Filter objects

24

6.1

Definition of filter objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

6.2

Order of filter objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

7 Lattice of filter objects

26

7.1

Minimal and maximal f.o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

7.2

Primary filtrator is filtered . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

7.3

Formulas for meets and joins of filter objects . . . . . . . . . . .

26

7.4

Distributivity of the lattice of filter objects . . . . . . . . . . . .

28

7.5

Separability of core for primary filtrators . . . . . . . . . . . . . .

29

7.6

Filters over boolean lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

7.7

Distributivity for an element of boolean core . . . . . . . . . . .

30

8 Generalized filter base

31

9 Stars

32

9.1

Free stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

9.2

Stars of elements of filtrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

9.3

Stars of filters on boolean lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

9.4

More about the lattice of filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

10 Atomic filter objects

37

10.1 Prime filtrator elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

11 Some criteria

39

12 Quasidifference and quasicomplement

43

13 Complements and core parts

46

13.1 Core part and atomic elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

14 Distributivity of core part over lattice operations

48

15 Fr´

echet filter

50

16 Complementive filter objects and factoring by a filter

51

17 Number of filters on a set

53

2