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(4)

(2)

Let formula (4) holds. Then for any elements

a

b

exists

c

6

= 0 such

that

c

b

and

c

a

= 0. Because

A

is atomic there exists atom

d

c

.

d

atoms

b

and

d /

atoms

a

. So atoms

a

6

= atoms

b

and atoms

a

atoms

b

.

Consequently atoms

a

atoms

b

.

4. Filtrators

Definition 31

I will call a

filtrator

a pair

(

A

;

Z

)

of a poset

A

and its subset

Z

A

. I call

A

the

base

of a filtrator and

Z

the

core

of a filtrator.

Definition 32

I will call a

lattice filtrator

a pair

(

A

;

Z

)

of a lattice

A

and its

subset

Z

A

.

Definition 33

I will call a

complete lattice filtrator

a pair

(

A

;

Z

)

of a com-

plete lattice

A

and its subset

Z

A

.

Definition 34

I will call a

central filtrator

a filtrator

(

A

;

Z

(

A

))

where

Z

(

A

)

is the center of a bounded lattice

A

.

Remark 8

One use of filtrators is the theory of filters where the base lattice

(or the lattice of principal filters) is essentially considered as the core of the
lattice of filters. See below for a more exact formulation. Our primary interest
is the properties of filters on sets (that is the filtrator of filters on a set), but
instead we will research more general theory of filtrators.

Remark 9

An other important example of filtrators is

filtrator of funcoids

whose base is the set of funcoids [11] and whose core is the set of binary relations
(or discrete funcoids).

Definition 35

I will call

element

of a filtrator an element of its base.

Definition 36

up

a

=

{

c

Z

|

c

a

}

where

a

A

.

Definition 37

down

a

=

{

c

Z

|

c

a

}

where

a

A

.

Obvious 8

up

” and “

down

” are dual.

The main purpose of this text is knowing properties of the core of a filtrator

to infer properties of the base of the filtrator, specifically properties of up

a

for

every element

a

.

Definition 38

I call a filtrator with

join-closed core

such filtrator

(

A

;

Z

)

that

S

Z

S

=

S

A

S

whenever

S

Z

S

exists for

S

∈ P

Z

.

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