background image

Let

a

6

=

b

for example

a

*

b

. Then

a

b

a

; atoms

a

atoms(

a

b

) =

atoms

a

atoms

b

and thus atoms

a

6

= atoms

b

.

Let atoms

a

6

= atoms

b

for example atoms

a

*

atoms

b

. Then atoms(

a

b

) = atoms

a

atoms

b

atoms

a

and thus

a

b

a

and so

a

*

b

consequently

a

6

=

b

.

Proposition 14

Any atomistic poset is atomically separable.

Proof

We need to prove that atoms

a

= atoms

b

a

=

b

. But it is obvious

because

a

=

[

atoms

a

and

b

=

[

atoms

b.

Theorem 20

If a lattice with least element is atomic and separable then it is

atomistic.

Proof

Suppose the contrary that is

a

S

atoms

a

. Then, because our lattice

is separable, exists

c

A

such that

c

a

6

= 0 and

c

S

atoms

a

= 0. There

exist atom

d

c

such that

d

c

a

.

d

S

atoms

a

c

S

atoms

a

= 0. But

d

atoms

a

. Contradiction.

Theorem 21

Any atomistic lattice is atomically separable.

Proof

Let

A

be an atomistic lattice. Let

a, b

A

,

a

b

. Then

S

atoms

a

S

atoms

b

and consequently atoms

a

atoms

b

.

Theorem 22

Let

A

be an atomic meet-semilattice with least element. Then the

following statements are equivalent:

1.

A

is separable.

2.

A

is atomically separable.

3.

A

conforms to Wallman’s disjunction property.

4.

a, b

A

: (

a

b

⇒ ∃

c

A

\ {

0

}

: (

c

a

c

b

))

.

Proof

(1)

(3)

(4)

Proved above.

(2)

(4)

Let our semilattice be atomically separable. Let

a

b

. Then atoms

a

atoms

b

and so exists

c

atoms

b

such that

c /

atoms

a

.

c

6

= 0 and

c

b

;

c

*

a

, from which (taking in account that

c

is an atom)

c

b

and

c

a

= 0.

So our semilattice conforms to the formula (4).

18