 5.

a, b

A

: (

a

b

⋆a

+

⋆b

)

.

6.

a, b

A

: (

⋆a

⋆b

a

6 ⊃

b

)

.

7.

A

conforms to Wallman’s disjunction property.

8.

a, b

A

: (

a

b

⇒ ∃

c

A

\ {

0

}

: (

c

a

c

b

))

.

Proof

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

By the above theorem.

(8)

(4)

Let the property (8) holds. Let

a

b

. Then it exists element

c

b

such that

c

6

= 0 and

c

a

= 0. But

c

b

6

= 0. So

⋆a

6

=

⋆b

.

(2)

(7)

Let the property (2) holds. Let

a

*

b

. Then

⋆a

*

⋆b

that is exists

c

⋆a

such that

c /

⋆b

, in other words

c

a

6

= 0 and

c

b

= 0. Let

d

=

c

a

. Then

d

a

and

d

6

= 0 and

d

b

= 0. So disjunction property

of Wallman holds.

(7)

(8)

Obvious.

(8)

(7)

Let

b

*

a

. Then

a

b

b

that is

a

b

where

a

=

a

b

. Consequently

c

A

\ {

0

}

: (

c

a

c

b

). We have

c

a

=

c

b

a

=

c

a

. So

c

b

and

c

a

= 0. Thus Wallman’s disjunction property holds.

3.3. Atomically separable lattices

Proposition 12

atoms

” is a straight monotone map (for any meet-semilattice).

Proof

Monotonicity is obvious. The rest follows from the formula

atoms(

a

b

) = atoms

a

atoms

b

(the corollary 1).

Definition 30

I will call

atomically separable

such a poset that “

atoms

” is

an injection.

Proposition 13

a, b

A

: (

a

b

atoms

a

atoms

b

)

iff

A

is atomically

separable for a poset

A

.

Proof

Obvious.

17