background image

(1)

(3)

Let

a, b

A

. Let

f a

=

f b

a

=

b

. Let

a

b

.

f a

6

=

f b

because

a

6

=

b

.

f a

f b

because

a

b

. So

f a

f b

.

(2)

(1)

Let

a, b

A

. Let

f a

f b

a

b

. Let

f a

=

f b

. Then

a

b

b

a

and consequently

a

=

b

.

(3)

(2)

Let

a, b

A

: (

a

b

f a

f b

). Let

a

*

b

. Then

a

a

b

. So

f a

f

(

a

b

). If

f a

f b

then

f a

f

(

a

b

) what is a contradiction.

(3)

(5)

(4)

Obvious.

(4)

(3)

Because

a

b

a

b

f a

f b

.

(5)

(6)

Obvious.

3.2. Separation subsets and full stars

Definition 25

Y

a

=

{

x

Y

|

x

6≍

a

}

for an element

a

of a poset

A

and

Y

∈ P

A

.

Definition 26

Full star

of

a

is

⋆a

=

A

a

.

Proposition 11

If

A

is a meet-semilattice, then

is a straight monotone map.

Proof

Monotonicity is obvious. Let

⋆a

*

(

a

b

). Then it exists

x

⋆a

such

that

x /

(

a

b

). So

x

a /

⋆b

but

x

a

⋆a

and consequently

⋆a

*

⋆b

.

Definition 27

A

separation subset

of a poset

A

is such its subset

Y

that

a, b

A

: (

Y

a

=

Y

b

a

=

b

)

.

Definition 28

I call

separable

such poset that

is an injection.

Obvious 7

A poset is separable iff it has separation subset.

Definition 29

A poset

A

has

disjunction property of Wallman

iff for any

a, b

A

either

b

a

or there exists a non-least element

c

b

such that

a

c

.

Theorem 19

For a meet-semilattice with least element the following statements

are equivalent:

1.

A

is separable.

2.

a, b

A

: (

⋆a

⋆b

a

b

)

.

3.

a, b

A

: (

a

b

⋆a

⋆b

)

.

4.

a, b

A

: (

a

b

⋆a

6

=

⋆b

)

.

16