background image

4. Obviously (

b

c

)

\

a

b

\

a

and (

b

c

)

\

a

c

\

a

, thus (

b

c

)

\

a

(

b

\

a

)

(

c

\

a

). We have

(

b

\

a

)

(

c

\

a

)

a

=

((

b

\

a

)

a

)

((

c

\

a

)

a

) =

(

b

a

)

(

c

a

) =

a

b

c

b

c.

From this by the definition of adjoints: (

b

\

a

)

(

c

\

a

)

(

b

c

)

\

a

.

Theorem 16

(

S

S

)

\

a

=

S

{

x

\

a

|

x

S

}

for

a

A

and

S

∈ P

A

where

A

is a complete co-brouwerian lattice.

Proof

Because lower adjoint preserves all suprema.

Theorem 17

(

a

\

b

)

\

c

=

a

\

(

b

c

)

for elements

a

,

b

,

c

of a complete

co-brouwerian lattice.

Proof

a

\

b

=

T

{

z

A

|

a

b

z

}

.

(

a

\

b

)

\

c

=

T

{

z

A

|

a

\

b

c

z

}

.

a

\

(

b

c

) =

T

{

z

A

|

a

b

c

z

}

.

It’s left to prove

a

\

b

c

z

a

b

c

z

.

Let

a

\

b

c

z

. Then

a

b

b

c

z

by the lemma and consequently

a

b

c

z

.

Let

a

b

c

z

. Then

a

\

b

(

b

c

z

)

\

b

c

z

by a theorem above.

3. Straight maps and separation subsets

3.1. Straight maps

Definition 24

Let

f

be a monotone map from a meet-semilattice

A

to some

poset

B

. I call

f

a

straight

map when

a, b

A

: (

f a

f b

f a

=

f

(

a

b

))

.

Proposition 8

The following statements are equivalent for a monotone map

f

:

1.

f

is a straight map.

2.

a, b

A

: (

f a

f b

f a

f

(

a

b

))

.

3.

a, b

A

: (

f a

f b

f a

6 ⊃

f

(

a

b

))

.

14