background image

Definition 23

Let

a, b

A

where

A

is a complete lattice. Quasidifference

a

\

b

is defined by the formula

a

\

b

=

\

{

z

A

|

a

b

z

}

.

Remark 6

The more detailed theory of quasidifference (as well as quasicom-

plement and dual quasicomplement) will be considered below.

Lemma 1

(

a

\

b

)

b

=

a

b

for elements

a

,

b

of a meet infinite distributive

complete lattice.

Proof

(

a

\

b

)

b

=

\

{

z

A

|

a

b

z

} ∪

b

=

\

{

z

b

|

z

A

, a

b

z

}

=

\

{

t

A

|

t

b, a

t

}

=

a

b.

Theorem 14

The following are equivalent for a complete lattice

A

:

1.

A

is meet infinite distributive.

2.

A

is a co-brouwerian lattice.

3.

A

is a co-Heyting lattice.

4.

a

∪ −

has lower adjoint for every

a

A

.

Proof

(2)

(3)

Obvious (taking in account completeness of

A

).

(4)

(1)

Let

− \

a

be the lower adjoint of

a

∪ −

. Let

S

∈ P

A

. For every

y

S

we have

y

(

a

y

)

\

a

by properties of Galois connections; consequently

y

(

T

h

a

∪i

S

)

\

a

;

T

S

(

T

h

a

∪i

S

)

\

a

. So

a

\

S

((

\

h

a

∪i

S

)

\

a

)

a

\

h

a

∪i

S.

But

a

T

S

T

h

a

∪i

S

is obvious.

(1)

(2)

Let

a

\

b

=

T

{

z

A

|

a

b

z

}

. To prove that

A

is a co-brouwerian

lattice is enough to prove that

a

b

(

a

\

b

). But it follows from the

lemma.

12