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2.6. Co-Brouwerian Lattices

Definition 18

Let

A

be a poset. Let

a

A

.

Pseudocomplement

of

a

is

max

{

c

A

|

c

a

}

.

If

z

is pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

.

Definition 19

Let

A

be a poset. Let

a

A

.

Dual pseudocomplement

of

a

is

min

{

c

A

|

c

a

}

.

If

z

is dual pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

+

.

Definition 20

Let

A

be a join-semilattice. Let

a, b

A

.

Pseudodifference

of

a

and

b

is

min

{

z

A

|

a

b

z

}

.

If

z

is a pseudodifference of

a

and

b

we will denote

z

=

a

\

b

.

Remark 5

I do not require that

a

is undefined if there are no pseudocom-

plement of

a

and likewise for dual pseudocomplement and pseudodifference. In

fact below I will define quasicomplement, dual quasicomplement, and quasidif-
ference which will generalize pseudo-* counterparts. I will denote

a

the more

general case of quasicomplement than of pseudocomplement, and likewise for
other notation.

Obvious 6

Dual pseudocomplement is the dual of pseudocomplement.

Definition 21

Co-brouwerian lattice

is a lattice for which is defined pseu-

dodifference of any two its elements.

Proposition 7

Every non-empty co-brouwerian lattice

A

has least element.

Proof

Let

a

be an arbitrary lattice element. Then

a

\

a

= min

{

z

A

|

a

a

z

}

=

min

A

. So min

A

exists.

Definition 22

Co-Heyting lattice

is co-brouwerian lattice with greatest ele-

ment.

Theorem 13

For a co-brouwerian lattice

a

∪ −

is an upper adjoint of

− \

a

for every

a

A

.

Proof

g

(

b

) = min

{

x

A

|

a

x

b

}

=

b

\

a

exists for every

b

A

and thus

is the lower adjoint of

a

∪ −

.

Corollary 4

a, x, y

A

: (

x

\

a

y

x

a

y

)

for a co-brouwerian lattice.

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