background image

1. Let

g

(

b

) = max

{

x

A

|

f x

b

}

for every

b

B

. Then

x

gy

x

max

{

x

A

|

f x

y

} ⇒

f x

y

(because

f

is monotone) and

x

gy

x

max

{

x

A

|

f x

y

} ⇐

f x

y.

So

f x

y

x

gy

that is

f

is the lower adjoint of

g

.

2. We have

g

(

b

) = max

{

x

A

|

f x

b

} ⇔

f gb

b

∧ ∀

x

A

: (

f x

b

x

gb

)

what is true by properties of adjoints.

Theorem 12

Let

f

be a function from a poset

A

to a poset

B

.

1. If

f

is an upper adjoint,

f

preserves all existing infima in

A

.

2. If

A

is a complete lattice and

f

preserves all infima, then

f

is an upper

adjoint of a function

B

A

.

3. If

f

is a lower adjoint,

f

preserves all existing suprema in

A

.

4. If

A

is a complete lattice and

f

preserves all suprema, then

f

is a lower

adjoint of a function

B

A

.

Proof

We will prove only first two items because the rest items are similar.

1. Let

S

∈ P

A

and

T

S

exists.

f

T

S

is a lower bound for

h

f

i

S

because

f

is

order-preserving. If

a

is a lower bound for

h

f

i

S

then

x

S

:

a

f x

that is

x

S

:

x

ga

where

g

is the lower adjoint of

f

. Thus

T

S

ga

and hence

f

T

S

a

. So

f

T

S

is the greatest lower bound for

h

f

i

S

.

2. Let

A

be a complete lattice and

f

preserves all infima. Let

g

(

a

) =

T

{

x

A

|

f x

a

}

.

Since

f

preserves infima, we have

f

(

g

(

a

)) =

\

{

f

(

x

)

|

x

A

, f

(

x

)

a

} ⊇

a.

g

(

f

(

b

)) =

T

{

x

A

|

f x

f b

} ⊆

b

.

Obviously

f

is monotone and thus

g

is also monotone.

So

f

is the upper adjoint of

g

.

Corollary 3

Let

f

be a function from a complete lattice

A

to a poset

B

. Then:

1.

f

is an upper adjoint of a function

B

A

iff

f

preserves all infima in

A

.

2.

f

is a lower adjoint of a function

B

A

iff

f

preserves all suprema in

A

.

10