 Theorem 44.

The following are categories (with reloid composition):

1.

MonRld

,

;

2.

MonRld

,

=

;

3.

MonRld

=

,

=

.

4.

CoMonRld

,

;

5.

CoMonRld

,

=

;

6.

CoMonRld

=

,

=

.

Proof.

We will prove only the first three. The rest follow from duality. We need to prove only that

composition of morphisms is a morphism, because associativity and existence of identity morphism
are evident. We have:

1. Let

f

Mor

MonRld

,

(

A

;

B

)

,

g

Mor

MonRld

,

(

B

;

C

)

. Then dom

f

⊆ A

, im

f

⊇ B

,

dom

g

⊆ B

, im

g

⊇ C

. So dom

(

g

f

)

⊆ A

, im

(

g

f

)

⊇ C

that is

g

f

Mor

MonRld

,

(

A

;

C

)

.

2. Let

f

Mor

MonRld

,

=

(

A

;

B

)

,

g

Mor

MonRld

,

=

(

B

;

C

)

. Then dom

f

⊆ A

, im

f

=

B

,

dom

g

⊆ B

, im

g

=

C

. So dom

(

g

f

)

⊆ A

, im

(

g

f

) =

C

that is

g

f

Mor

MonRld

,

=

(

A

;

C

)

.

3. Let

f

Mor

MonRld

=

,

=

(

A

;

B

)

,

g

Mor

MonRld

=

,

=

(

B

;

C

)

. Then dom

f

=

A

, im

f

=

B

, dom

g

=

B

,

im

g

=

C

. So dom

(

g

f

) =

A

,

im

(

g

f

) =

C

that is

g

f

Mor

MonRld

=

,

=

(

A

;

C

)

.

Definition 45.

Let

BijRld

is the groupoid of all bijections of the category of reloid triples. Its

objects are filter objects and its morphisms from a f.o.

A

to f.o.

B

are monovalued injective reloids

f

such that dom

f

=

A

and im

f

=

B

.

Theorem 46.

Filter objects

A

and

B

are isomorphic iff Mor

BijRld

(

A

;

B

)

.

Proof.

.

Let

A

and

B

are isomorphic. Then there are sets

A

up

A

,

B

up

B

and a bijective

Set

-

morphism

F

:

A

B

such that

h

F

i

:

P

A

up

A →

P

B

up

B

is a bijection.

Obviously

f

= (

RLD

F

)

|

A

is monovalued and injective.

im

f

=

T

{↑

B

im

G

|

G

up

(

RLD

F

)

|

A

}

=

T

{↑

B

im

(

H

F

|

X

)

|

H

up

(

RLD

F

)

|

A

,

X

up

A}

=

T

{↑

B

im

F

|

P

|

P

up

A}

=

T

{↑

B

h

F

i

P

|

P

up

A}

=

T

{↑

B

h

F

i

P

|

P

P

A

up

A}

=

T

h↑

B

i

(

P

B

up

B

) =

T

h↑

B

i

up

B

=

B

.

Thus dom

f

=

A

and im

f

=

B

.

.

Let

f

is a monovalued injective reloid such that dom

f

=

A

and im

f

=

B

. Then exist a

function

F

and an injective binary relation

F

′′

such that

F

, F

′′

up

f

. Thus

F

=

F

F

′′

is an injection such that

F

up

f

. The function

F

is a bijection from

A

=

dom

F

to

B

=

im

F

. The function

h

F

i

is an injection on

P

A

up

A

(and moreover on

P

A

). It’s

simple to show that

X

P

A

up

A

:

h

F

i

X

P

B

up

B

and similarly

Y

P

B

up

B

:

h

F

i

1

Y

=

h

F

1

i

Y

P

A

up

A

. Thus

h

F

i|

P

A

up

A

is a bijection

P

A

up

A →

P

B

up

B

.

So filter objects

A

and

B

are isomorphic.

Proposition 47.

(

>

1

) = (

)

(

>

2

)

(when we limit to small f.o.).

Proof.

A

>

1

B

iff exists a function

f

:

Base

(

A

)

Base

(

B

)

such that

B ⊆ h↑

f

iA

. But

B ⊆ h↑

f

iA

is

equivalent to

∃B

F

: (

B ⊆ B

∧ B

=

h↑

f

iA

)

. So

A

>

1

B

is equivalent to existence of

B

F

such that

B ⊆ B

and existence of a function

f

:

Base

(

A

)

Base

(

B

)

such that

B

=

h↑

f

iA

. That is equivalent

to

A

((

)

(

>

2

))

B

.

Proposition 48.

If

a

and

b

is an atomic f.o. then

b

>

1

a

b

>

2

a

.

Proof.

We need to prove only

b

>

1

a

b

>

2

a

. If

b

>

1

a

then there exists a monovalued

reloid

f

:

Base

(

b

)

1

F

(

Base

(

a

))

such that dom

f

=

b

and im

f

a

. Then im

f

=

im

(

FCD

)

f

0

F

(

Base

(

a

))

atoms

1

F

(

Base

(

a

))

because

(

FCD

)

f

is a monovalued funcoid. So im

f

=

a

(taken in

account

a

0

F

(

Base

(

a

))

) and thus

b

>

2

a

.

8

Section 3