background image

Proof.

Let

f

(

X

) =

X

if

X

a

and

f

(

X

) =

U

\

X

if

X

a

. Obviously

f

is a surjection from

U

to

a

.

Every

X

a

appears as a value of

f

exactly twice, as

f

(

X

)

and

f

(

U

\

X

)

. So card

a

=

U

/2 =

U

.

Corollary 10.

Cardinality of every two ultrafilters on a set

U

is the same.

Proof.

For infinite

U

it follows from the theorem. For finite case it is obvious.

Definition 11.

f

∗A

=

{

C

P

(

Dst

f

)

| h

f

1

i

C

up

A}

for every f.o.

A

and a

Set

-morphism

f

.

Below I’ll define some directed multigraphs. By an abuse of notation, I will denote these multi-

graphs the same as (below defined) categories based on some of these these directed multigraphs
with added composition of morphisms (of directed multigraphs edges). As such I will call vertices
of these multigraphs objects and edges morphisms.

Definition 12.

I will denote

GreFunc

1

the multigraph whose objects are filter objects and whose

morphisms between objects

A

and

B

are

Set

-morphisms from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

such that

up

B ⊇

f

∗A

.

Definition 13.

I will denote

GreFunc

2

the multigraph whose objects are filter objects and whose

morphisms between objects

A

and

B

are

Set

-morphisms from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

such that

up

B

=

f

∗A

.

Definition 14.

Let

A

is a f.o. on a set

X

and

B

is a f.o. on a set

Y

.

A

>

1

B

iff Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

)

is not empty.

Definition 15.

Let

A

is an f.o. on a set

X

and

B

is an f.o. on a set

Y

.

A

>

2

B

iff Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

)

is not empty.

Proposition 16.

1.

f

Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

)

iff

f

is a

Set

-morphism from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

such that

C

up

B ⇐ h

f

1

i

C

up

A

for every

C

P

Base

(

B

)

.

2.

f

Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

)

iff

f

is a

Set

-morphism from Base

(

A

)

to Base

(

B

)

such that

C

up

B ⇔ h

f

1

i

C

up

A

for every

C

P

Base

(

B

)

.

Proof.

1.

f

Mor

GreFunc

1

(

A

;

B

)

up

B ⊇

f

∗A ⇔ ∀

C

f

∗A

:

C

up

B ⇔ ∀

C

P

Base

(

B

):

(

h

f

1

i

C

up

A ⇒

C

up

B

)

.

2.

f

Mor

GreFunc

2

(

A

;

B

)

up

B

=

f

∗A ⇔ ∀

C

: (

C

up

B ⇔

C

f

∗A

)

⇔ ∀

C

P

Base

(

B

):

(

C

up

B ⇔

C

f

∗A

)

⇔ ∀

C

P

Base

(

B

): (

C

up

B ⇔ h

f

1

i

C

up

A

)

.

Definition 17.

The multigraph

FuncBij

is the multigraph got from

GreFunc

2

by restricting to

only bijective morphisms.

Definition 18.

A f.o.

A

is

directly isomorphic

to a f.o.

B

iff there are a morphism

f

Mor

FuncBij

(

A

;

B

)

.

Proposition 19.

f

∗A

=

up

h↑

f

iA

for every

Set

-morphism

f

:

Base

(

A

)

Base

(

B

)

.

Proof.

For every set

C

P

Base

(

B

)

we have

C

f

∗A ⇔ h

f

1

i

C

up

A ⇒ ∃

K

up

A

:

h

f

1

i

C

=

K

⇒ ∃

K

up

A

:

h

f

ih

f

1

i

C

=

h

f

i

K

⇒ ∃

K

up

A

:

C

⊇ h

f

i

K

⇔ ∃

K

up

A

:

C

up

h

f

i

K

C

up

T

Base

(

B

)

hh

f

ii

up

A ⇔

C

up

h↑

f

iA

.

So

C

f

∗A ⇒

C

up

h↑

f

iA

.

Ordering of filters

3