background image

Proof.

f

is a discrete monovalued reloid. Thus

f

=

F

|

dom

f

where

F

is a discrete monovalued

reloids. Thus

f

is discrete.

Example 84.

There exist two atomic reloids whose composition is non-atomic and non-empty.

Proof.

Let

a

is a non-trivial atomic filter object on

N

and

x

N

. Then

(

a

×

RLD

N

{

x

}

)

(

N

{

x

} ×

RLD

a

) =

\

RLD

(

N

;

N

)

((

A

× {

x

}

)

(

{

x

} ×

A

))

|

A

up

a

 

=

RLD

(

N

;

N

)

(

A

×

A

)

|

A

up

a

 

=

a

×

RLD

a

is non-atomic despite of

a

×

RLD

N

{

x

}

and

N

{

x

} ×

RLD

a

are atomic.

Example 85.

There exists non-monovalued atomic reloid.

Proof.

From the previous example follows that the atomic reloid

N

{

x

} ×

RLD

a

is not mono-

valued.

Example 86.

A

>

2

B ∧ B

>

2

A

but

A

is not isomorphic to

B

for some f.o.

A

and

B

.

Proof.

(proof idea by Andreas Blass, rewritten using reloids by me)

Let

u

n

,

h

n

with

n

ranging over the set

Z

are sequences of atomic f.o. on

N

and functions

N

N

such that

FCD

(

N

;

N

)

h

n

u

n

+1

=

u

n

and

u

n

are pairwise non-isomorphic. (See [1] for a proof that

such ultrafilters and functions exist.)

A

=

def

S

{↑

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

+1

|

n

Z

}

;

B

=

def

S

{↑

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

|

n

Z

}

.

Let the

Set

-morphisms

f , g

:

Z

×

N

Z

×

N

are defined by the formulas

f

(

n

;

x

) = (

n

;

h

2

n

x

)

and

g

(

n

;

x

) = (

n

1;

h

2

n

1

x

)

.

Using the fact that every function induces a complete funcoid and a lemma above we get:

h

f

iA

=

S

hh↑

f

ii{↑

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

+1

|

n

Z

}

=

S

{↑

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

|

n

Z

}

=

B

.

h

g

iB

=

S

hh↑

g

ii{↑

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

|

n

Z

}

=

S

{↑

Z

{

n

1

} ×

RLD

u

2

n

1

|

n

Z

}

=

S

{↑

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

+1

|

n

Z

}

=

A

.

It remains to show that

A

and

B

are not isomorphic.

Let

X

up

(

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

+1

)

for some

n

Z

. Then if

Z

×

N

X

∩ A

is an atomic f.o. we have

Z

×

N

X

∩ A

=

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

+1

and thus by the theorem 78 is isomorphic to

u

2

n

+1

.

If

X

up

(

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

+1

)

for every

n

Z

then

(

Z

×

N

)

\

X

up

(

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

+1

)

and

thus

(

Z

×

N

)

\

X

up

A

and thus

Z

×

N

X

∩ A

=

.

We have also

(

Z

{

0

} ×

RLD

N

)

∩ B

= (

Z

{

0

} ×

RLD

N

)

S

{↑

Z

{

n

} ×

RLD

u

2

n

|

n

Z

}

=

S

{

(

Z

{

0

} ×

RLD

N

)

(

{

n

} ×

RLD

u

2

n

)

|

n

Z

}

=

Z

{

0

} ×

RLD

u

0

(an atomic f.o.).

Thus every atomic f.o. generated as intersecting

A

with a principal f.o.

Z

×

N

X

is isomorphic

to some

u

2

n

+1

and thus is not isomorphic to

u

0

. By the lemma it follows that

A

and

B

are non-

isomorphic.

Bibliography

[1]

Andreas Blass. Kleene degrees of ultrafilters. In Heinz-Dieter Ebbinghaus, Gert Müller, and Gerald Sacks,

editors,

Recursion Theory Week

, volume 1141 of

Lecture Notes in Mathematics

, pages 29–48. Springer Berlin /

Heidelberg, 1985. 10.1007/BFb0076213.

[2]

Anatoly Gryzlov. On the rudin-keisler order on ultrafilters.

Topology and its Applications

, 76(2):151–155, 1997.

[3]

Victor Porton. Funcoids and reloids. At

http://www.mathematics21.org/binaries/funcoids-reloids.pdf

.

[4]

Victor Porton. Filters on posets and generalizations.

International Journal of Pure and Applied Mathematics

,

74(1):55–119, 2012.

http://www.mathematics21.org/binaries/filters.pdf

.

[5]

R. M. Solovay. Maps preserving measures. At

http://math.berkeley.edu/~solovay/Preprints/Rudin_Keisler.pdf

, 2011.

[6]

Comfort W. W. and Negrepontis S.

The theory of ultrafilters

. Springer-Verlag, 1974.

14

Section