background image

So

h

f

i|

up

F ∩

P

Base

(

F

)

=

h

f

i|

up

F

is a bijection from up

F ∩

P

B

to up

(

A

{

a

} ×

RLD

F

)

P

B

.

We have up

F ∩

P

Base

(

F

)

and up

(

A

{

a

} ×

RLD

F

)

P

B

directly isomorphic and thus up

F

is

isomorphic to up

(

A

{

a

} ×

RLD

F

)

.

Theorem 79.

A monovalued reloid with atomic domain is atomic.

Proof.

Let

f

is a monovalued reloid with atomic domain. There exists a function

F

up

f

.

We have

f

⊆ ↑

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

. Thus it suffices to prove that

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

is atomic.

Let the function

τ

:

dom

F

F

is defined by the formula

τx

= (

x

;

Fx

)

(for every

x

dom

F

).

That

τ

is an injection is obvious. That

τ

is a surjection is also obvious. Thus

τ

is a bijection.

Let

T

=

h

τ

i|

up dom

f

P

dom

F

.

If

X

up dom

f

P

dom

F

then

TX

=

{

τx

|

x

X

}

=

{

(

x

;

Fx

)

|

x

X

}

=

F

|

X

.

Thus

TX

F

and

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

TX

⊇ ↑

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

. So

TX

up

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

P

F .

So

T

:

up dom

f

P

dom

F

up

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

P

F

.

Let

X , Y

up dom

f

P

dom

F

and

X

Y

. Then

TX

=

h

τ

i

X

h

τ

i

Y

=

TY

because

τ

is a

bijection. So

T

is an injection.

Let

Y

up

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

P

F

. Then

Y

F

and thus

Y

=

F

|

dom

Y

. We have

dom

Y

up dom

f

P

dom

F

and

T

dom

Y

=

{

τx

|

x

dom

Y

}

=

{

(

x

;

Fx

)

|

x

dom

Y

}

=

F

|

dom

Y

=

Y .

Thus

T

is a surjection.

Thus

T

is a bijection and so up dom

f

P

dom

F

is directly isomorphic to

up

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

P

F

. Consequently up

dom

f

is isomorphic to

up

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

, and so

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

is an atomic filter object because

dom

f

is atomic by the assumption.

Theorem 80.

If

f

,

g

are reloids,

f

g

and

g

is monovalued then

g

|

dom

f

=

f

.

Proof.

It’s simple to show that

f

=

f

|

a

|

a

atoms

1

F

(

Src

f

)

 

(use the fact that every atomic

reloid

k

f

|

a

for some

a

atoms

1

F

(

Src

f

)

and the fact that

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

is atomistic).

Suppose that

g

|

dom

f

f

. Then there exists

a

atoms dom

f

such that

g

|

a

f

|

a

.

Obviously

g

|

a

f

|

a

.

If

g

|

a

f

|

a

then

g

|

a

is not atomic (because

f

|

a

0

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

) what contradicts to a theorem

above. So

g

|

a

=

f

|

a

what is a contradiction and thus

g

|

dom

f

=

f

.

Corollary 81.

Every monovalued reloid is a restricted discrete monovalued reloid.

Proof.

Let

f

is a monovalued reloid. Then exists a function

F

up

f

. So we have

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

=

f .

Corollary 82.

Every monovalued injective reloid is a restricted injective monovalued discrete

reloid.

Proof.

Let

f

is a monovalued injective reloid. There exists a function

F

such that

f

=

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

. Also there exists an injection

G

up

f

.

Thus

f

=

f

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

G

|

dom

f

=

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

F

|

dom

f

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

G

|

dom

f

=

RLD

(

Src

f

;

Dst

f

)

(

F

G

)

|

dom

f

. Obviously

F

G

is an injection.

Theorem 83.

If a reloid

f

is monovalued and dom

f

is a principal f.o. then

f

is discrete.

Consequences

13