background image

Corollary 67.

I

A

RLD

is isomorphic to

A

for every f.o.

A

.

Theorem 68.

There are atomic f.o. incomparable by Rudin-Keisler order.

Proof.

See [2].

Theorem 69.

>

1

and

>

2

are different relations.

Proof.

Consider

a

is an arbitrary non-empty f.o. Then

a

>

1

0

F

(

Base

(

a

))

but not

a

>

2

0

F

(

Base

(

a

))

.

Proposition 70.

If

a

>

2

b

where

a

is an atomic f.o. then

b

is also an atomic f.o.

Proof.

b

=

h↑

f

i

a

for some

f

:

Base

(

a

)

Base

(

b

)

. So

b

is an atomic f.o. since

f

is monovalued.

Corollary 71.

If

a

>

1

b

where

a

is an atomic f.o. then

b

is also an atomic f.o. or

0

F

(

Base

(

a

))

.

Proof.

b

⊆ h↑

f

i

a

for some

f

:

Base

(

a

)

Base

(

b

)

. Therefore

b

=

h↑

f

i

a

is an atomic f.o. From this

follows our statement.

Proposition 72.

Principal filters, generated by sets of the same cardinality, are isomorphic.

Proof.

Let

A

and

B

are sets of the same cardinality. Then there are a bijection

f

from

A

to

B

.

We have

h

f

i

A

=

B

and thus

A

and

B

are isomorphic.

Proposition 73.

If a filter object is isomorphic to a principal f.o., then it is also a principal f.o.

induced by a set with the same cardinality.

Proof.

Let

A

is a set and

B

is a f.o. isomorphic to

A

. Then there are sets

X

up

A

and

Y

up

B

such that there are a bijection

f

:

X

Y

such that

h

f

i

A

=

B

. Thus

A

is a set of the same cardinality

as

B

.

Proposition 74.

A filter isomorphic to a non-trivial atomic f.o. is a non-trivial atomic f.o.

Proof.

Let

a

is a non-trivial atomic f.o. and

a

is isomorphic to

b

. Then

a

>

2

b

and thus

b

is an

atomic f.o. The f.o.

b

cannot be trivial because otherwise

a

would be also trivial.

Theorem 75.

For an infinite set

U

there exist

2

2

cardU

equivalence classes of isomorphic ultrafilters.

Proof.

The number of bijections between any two given subsets of

U

is no more than

(

card

U

)

card

U

= 2

card

U

. The number of bijections between all pairs of subsets of

U

is no more

than

2

card

U

·

2

card

U

= 2

card

U

. Therefore each isomorphism class contains at most

2

card

U

ultra-

filters. But there are

2

2

card

U

ultrafilters. So there are

2

2

card

U

classes.

Remark 76.

One of the above mentioned equivalence classes contains trivial ultrafilters.

Corollary 77.

There exist non-isomorphic nontrivial ultrafilters on any infinite set.

5 Consequences

Theorem 78.

The reloid

A

{

a

} ×

RLD

F

is isomorphic to the filter object

F

for every set

A

and

a

A

.

Proof.

Consider

B

=

{

a

} ×

Base

(

F

)

and

f

=

{

(

x

; (

a

;

x

))

|

x

Base

(

F

)

}

. Then

f

is a bijection from

Base

(

F

)

to

B

.

If

X

up

F

then

h

f

i

X

B

and

h

f

i

X

=

{

a

} ×

X

up

(

A

{

a

} ×

RLD

F

)

.

For every

Y

up

(

A

{

a

} ×

RLD

F

)

P

B

we have

Y

=

{

a

} ×

X

for some

X

up

F

and thus

Y

=

h

f

i

X

.

12

Section 5