background image

Orderings of filters in terms of reloids

Extensions of Rudin-Keisler ordering

by Victor Porton

August 13, 2013

Abstract

Orderings of filters which extend Rudin-Keisler preorder of ultrafilters are described in terms
of reloids that (roughly speaking) is filters on sets of binary relations between some sets. Also
it is defined isomorphism of filters which extends Rudin-Keisler equivalence of ultrafilters.

Keywords:

Rudin-Keisler order, Rudin-Keisler preorder, Rudin-Keisler ordering, filters,

ultrafilters, reloids, isomorphism, isomorphic

A.M.S. subject classification:

06F99, 06A99, 54D99

1 Draft status

It is a draft.

2 Preliminary definitions

Whilist my other works use filters to research funcoids and reloids [3], here it is discussed the
opposite thing, the theory of reloids is used to describe properties of filters.

See [4] for the definition of filter objects and [3] for the definition and properties of reloids and

funcoids.

I will call

small

sets members of some Grothendieck universe.

Recall that morphisms of the category

Set

(or “

Set

-morphisms” for short) are triples

(

F

;

A

;

B

)

of a function

F

and small sets

A

and

B

where dom

F

A

and im

F

B

.

For

X

P

A

we’ll denote

h

(

F

;

A

;

B

)

i

X

=

h

F

i

X

.

Let

f

= (

F

;

A

;

B

)

is a

Set

-morphism. I will denote in this article

f

=

FCD

(

A

;

B

)

F

;

A

;

B

and

RLD

f

=

RLD

(

A

;

B

)

F

;

A

;

B

.

2.1 Equivalent filters

We will restrict to small sets that is members of some Grothendieck universe.

Definition 1.

Two filter objects

A

and

B

(with possibly different base sets) are

equivalent

(

A ∼ B

)

iff there exists a set

X

such that

X

up

A

and

X

up

B

and

P

X

up

A

=

P

X

up

B

.

Proposition 2.

If two filter objects with the same base are equivalent they are equal.

Proof.

Let

A

and

B

are two f.o. and

P

X

up

A

=

P

X

up

B

for some set

X

such that

X

up

A

and

X

up

B

, and Base

(

A

) =

Base

(

B

)

. Then up

A

= (

P

X

up

A

)

∪ {

Y

P

Base

(

A

)

|

Y

X

}

=

(

P

X

up

B

)

∪ {

Y

P

Base

(

B

)

|

Y

X

}

=

up

B

.

Proposition 3.

restricted to small filter objects is an equivalence relation.

Proof.

Reflexivity.

Obvious.

Symmetry.

Obvious.

. This document has been written using the GNU TEX

MACS

text editor (see

www.texmacs.org

).

1