 I will also denote

CoMonRld

Q,R

the directed multigraph with objects being ﬁlter objects and

morphisms such injective trans-reloids

f

that

(

im

f

)

Q

A

and

(

dom

f

)

R

B

. These are essentially

the duals.

Some of these directed multigraphs are categories with reloid composition (see below). By abuse

of notation I will denote these categories the same as these directed multigraphs.

Theorem 56.

For every f.o.

A

and

B

the following are equivalent:

1.

A

>

1

B

.

2. Mor

M onR ld

=

,

(

A

;

B

)

.

3. Mor

M onR ld

,

(

A

;

B

)

.

4. Mor

M onR ld

,

=

(

A

;

B

)

.

5. Mor

CoM onR ld

=

,

(

A

;

B

)

.

6. Mor

CoM onR ld

,

(

A

;

B

)

.

7. Mor

CoM onR ld

,

=

(

A

;

B

)

.

Proof.

(1)

(2).

There exists a

Set

-morphism

f

:

S

up

A →

S

up

B

such that

B ⊆ h

f

iA

. We have

dom

f

|

A

R LD

=

A ∩

F

dom

f

=

A

and

im

f

|

A

R LD

=

im

(

FCD

)

f

|

A

RL D

=

im

((

FCD

)

f

)

|

A

FC D

=

im

f

|

A

FCD

=

h

f

iA ⊇ B

.

Thus

f

|

A

R LD

is a monovalued reloid such that dom

f

|

A

RL D

=

A

and im

f

|

A

R LD

⊇ B

.

(2)

(3), (4)

(3), (5)

(6), (7)

(6).

Obvious.

(3)

(1).

We have

B ⊆ h

f

iA

. Then there exists a

Set

-morphism

F

:

S

up

A →

S

up

B

such

that

B ⊆ h

F

iA

that is

A

>

1

B

.

(6)

(7).

dom

f

|

B

=

B

and im

f

|

B

⊆ A

.

(2)

(5), (3)

(6), (4)

(7).

By duality.

Theorem 57.

For every f.o.

A

and

B

the following are equivalent:

1.

A

>

2

B

.

2. Mor

M onR ld

=

,

=

(

A

;

B

)

.

3. Mor

CoM onR ld

=

,

=

(

A

;

B

)

.

Proof.

(1)

(2).

Let

A

>

2

B

that is

B

=

h

f

iA

for some

f

:

S

up

A →

S

up

B

. Then dom

f

|

A

R LD

=

A

(where

RLD

is taken on the set

S

up

A ∪

S

up

B

) and im

f

|

A

R LD

=

im

(

FCD

)

f

|

A

R LD

=

im

((

FCD

)

f

)

|

A

FCD

=

im

f

|

A

FCD

=

h

f

iA

=

B

. So

f

|

A

R LD

is a sought for trans-reloid.

(2)

(1).

There exists a function

F

:

S

up

A →

S

up

B

such that

f

=

F

|

A

R LD

(where

RLD

is taken on the set

S

up

A ∪

S

up

B

). Thus

h

F

iA

=

im

F

|

A

FCD

=

im

(

FCD

)

F

|

A

R LD

=

im

(

FCD

)

f

=

im

f

=

B

. Thus

A

>

2

B

is testiﬁed by the function

F

.

(2)

(3).

By duality.

Theorem 58.

The following are categories (with trans-reloid composition):

1.

MonRld

,

;

2.

MonRld

,

=

;

3.

MonRld

=

,

=

.

Ordering of filters

9